משפט ההגדרה
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־18:16, 27 בפברואר 2021 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי מ"ו נוצר סופית, ויהי בסיס ל־.
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
הוכחה
יהי . אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה על ידי
קל מאד להראות כי המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר ).
נותר להוכיח כי יחידה. אמנם, אם העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר ), מתקיים:
ולכן .