אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הגדרה
נאמר שפונקציה גזירה בנקד' אם לכל סדרה קיים הגבול , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.
דוגמאות
תרגיל
האם הפונקציה גזירה?
פתרון
כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!
תרגיל
האם הפונקציה גזירה?
פתרון
לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.
משפטים
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
תנאי קושי-רימן
נגזרות חלקיות
תהי פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
דוגמא: אז הנגזרות החלקיות הן: .
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של המתאימות.
תנאי קושי רימן
תהי פונקציה מרוכבת. גזירה בנקודה אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
.
ובמקרה זה מתקיים: .
תרגיל
באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:
1.
2.
3.
4.
פתרון
משפט
פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.
תרגיל
הוכיחו שאם גזירה והחלק הממשי של הוא פונקציה קבועה אז קבועה.
פתרון
קבועה ולכן , וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן , ולכן גם קבועה. ולכן קבועה.