אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

• ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$.
• הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$, הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
  • כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה ומקדמי פוריה

• טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
  • $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
• כעת, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• באופן דומה, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• עבור $n,k\in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור $n=0$ נקבל
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=$
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=$
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]$
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• $a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx$
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור $k=0$.
• באופן דומה נקבל כי $b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx$

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור $2\pi$.
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה $f$, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה $g$ על ידי:
  • לכל $k\in\mathbb{Z}$ ולכל $x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)$ נגדיר $g(x)=f(x-2\pi k)$.
  • ברור ש $g(x+2\pi) = g(x)$, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת $g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)$

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של $x^2$:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של $x^2$
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$.

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=$

$=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=$

$- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

• שימו לב כי לכל $n\in\mathbb{N}$ מתקיים כי $cos(n\pi)=(-1)^n$

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של $x^2$ שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

$\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב $\pi$.
• $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}$
• ונקבל את הסכום המפורסם

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
  • 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
  • 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
• למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$ מעל השדה $\mathbb{C}$, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
  • לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
• $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$ היא מכפלה פנימית מעל E.
  • $\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}$
  • $\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle$
  • $\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx$
    • בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
    • כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
• נביט בנורמה המושרית $||f||^2=\langle f,f\rangle$

• כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
• יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
• ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית $\{e_1,...,e_n\}$, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
• לכל וקטור $v\in V$ נגדיר את ההיטל של $v$ על W על ידי $\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i$
• נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

• מתקיים כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • הוכחה:
  • $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • $\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • המעבר האחרון נכון כיוון ש $\{e_1,...,e_n\}$ אורתונורמלית.

• מתקיים כי $||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2$
  • הוכחה:
  • $\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$
  • נזכור כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$.
  • לכן קיבלנו כי $||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2$

• מסקנה מיידית: $||\widetilde{v}||\leq ||v||$

אי שיוויון בסל

• כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית $\{e_1,e_2,...\}$.
• לכל $v\in V$ מתקיים כי $\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$
  • הוכחה:
  • ראינו שלכל n מתקיים כי $\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$.
  • כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי $||v||^2$ ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

• בפרט נובע כי

$\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0$

למת רימן לבג

• ראינו כי $\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}$ היא קבוצה אורתונורמלית ב$E$ (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
• כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
• לכל $1\leq n\in \mathbb{N}$ הגדרנו $a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle$, ו$b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle$

• נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
• כלומר:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0$

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0$

• למת רימן-לבג: תהי $g$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$, אזי:

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0$

• הוכחה:
  • $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt$
  • נגדיר את שתי הפונקציות $h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$ ו $h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$
  • קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי $h_c,h_s\in E$.
  • ביחד נקבל כי $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0$

גרעין דיריכלה

• גרעין דיריכלה הוא הפונקציה $D_n(x)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}$

• טענה: $D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)$ בכל נקודה $t\neq 2\pi k$
  • הוכחה:
  • נכפל ב$2\sin(\frac{t}{2})$ ונקבל בצד שמאל:
  • $\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)$
  • נבחין בזהות הטריגונומטרית $2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)$
  • ובפרט $2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})$
  • ביחד נקבל $\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)$

• נשים לב כי הפונקציה $2\sin(\frac{t}{2})$ מתאפסת בנקודות $t=2\pi k$, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
• זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
• כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי $2\pi$ כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות $2\pi$.

• נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
• ראשית, לכל $1\leq k \in \mathbb{N}$ מתקיים:

$\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0$

• לכן נקבל:

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}$

הסכומים החלקיים של טור פוריה

• תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה $f$ שהיא מחזורית $2\pi$:

$S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)$

• נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=$

$= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt$

• זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt$

• שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

• טענה: תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$. אזי לכל $a\in\mathbb{R}$ מתקיים כי:

$\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx$

• כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך $2\pi$.
  • הוכחה:

$\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx$

נבצע הצבה $t=x-2\pi$ באינטגרל השני ונקבל:

$\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx$

ביחד נקבל כי:

$\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx$

• נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du$

כיוון שגרעין דיריכלה ו$f$ הן מחזוריות, נקבל:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt$

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

• נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב$f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)$.
• נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב$f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)$.
• שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

• נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י $f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}$.
• נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י $f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}$.
• שימו לב: ייתכן ש$f'(d^+)=f'(d^-)$ אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:

• נביט בפונקציה $f(x)=\frac{x}{|x|}$
• מתקיים כי $f(0^+)=1$, ו$f(0^-)=-1$.
• כמו כן מתקיים כי $f'(0^+)=f'(0^-)=0$.

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

• תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
• אזי לכל $x\in\mathbb{R}$ הטור עם מקדמי הפוריה של $f$ מתכנס:

$\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)$

• בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

הוכחה

• תהי נקודה $x\in\mathbb{R}$.
• נביט בפונקציה $g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}$
• $\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1$
• כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש$g(t)$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$.
• לפי למת רימן-לבג נובע כי:

$\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0$

• כלומר:

$0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt$

• כיוון ש

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}$

• נובע כי:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}$

• באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2}$

• ולכן סה"כ נקבל כי:

$\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$

דוגמאות

דוגמא 1

• תהי $f$ ההמשך המחזורי של $x$.

• כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
• כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל $n$ מתקיים כי $a_n=0$.

• כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:

$b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

• לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה $x\neq \pi +2\pi k$, מתקיים כי:

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$.

• בפרט, לכל נקודה $x\in (-\pi,\pi)$ מתקיים כי:

$x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$

• עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
• קל לראות שאכן לכל $x=\pi+2\pi k$ נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

• נציב לדוגמא $x=\frac{\pi}{2}$ ונקבל:

$\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2})$

• לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:

$\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1}$

• שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של $arctan(x)$.

דוגמא 2

• כעת, תהי $g$ ההמשך המחזורי של $x^2$.
• הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
• הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות $x=\pi+2\pi k$.
• בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל$\pm 2\pi$ (כיוון שהנגזרת של $x^2$ היא $2x$).
• סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

• כלומר קיבלנו שלכל $x\in [-\pi,\pi]$ מתקיים כי:

$x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של $x^2$, נקבל את טור הפורייה של $2x$.
• האם זה מפתיע?

דוגמא 3

• תהי $h$ ההמשך המחזורי של הפונקציה $\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}$

• שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

• נחשב את מקדמי הפורייה:

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi= \frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

• סה"כ שלכל $x\in (-\pi,\pi)$ מתקיים כי:

$h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]$

• שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל$x$ בקטע $(0,\pi)$.
• באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

טור הנגזרת

• תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ כך שהנגזרת שלה $f'$ רציפה למקוטעין בקטע.

שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים

• שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
  • כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
  • בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
  • אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
    • לדוגמא:
    • $\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1$
    • כלומר קיבלנו כי $\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}$, כאשר $(|x|)' = \frac{x}{|x|}$

חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת

• נסמן את מקדמי הפורייה של $f$ ב$a_n,b_n$
• נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב$\alpha_n,\beta_n$:

$\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}$

$\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = \frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n$

$\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n$

• כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:

$f'(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)$

• במקרה המיוחד בו $f(-\pi)=f(\pi)$ מתקיים כי $\alpha_0=0$ ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:

$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)$

דוגמאות

דוגמא 1

• נזכר בטור הפורייה של $x^2$:

$\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של $\frac{x^3}{3}$, נסמנם ב$a_n,b_n$.

• לכל $1\leq n$ נקבל כי:

$\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

$-na_n = 0$

• כמו כן נחשב את המקדם הראשון:

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0$

• נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של $\frac{x^3}{3}$ הוא:

$\frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)$

דוגמא 2

• נחשב את טור הפורייה של $e^x$.
• נסמן את טור הפורייה של $e^x$ ב:

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
• מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:

$\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)$

• כאשר $\alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}$

• ביחד נקבל את המשוואות:

$a_0=\alpha_0$

$a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n$

$b_n=-na_n$

• נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:

$a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}$

• ולכן

$b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}$

• סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של $e^x$ הינו:

$\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)$

• כיוון שלהמשך המחזורי של $e^x$ יש אי רציפות קפיצתית ב$x=\pi$, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע $\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}$
• כלומר, אם נציב $x=\pi$ נקבל:

$\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}$

• נפשט:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}$

הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל

תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה

• תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימת $f(-\pi)=f(\pi)$, כך ש $f'$ רציפה למקוטעין.
• אזי טור הפורייה של $f$ מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.

• לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
• נסמן את טור הפורייה ב

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• ברור כי

$\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|$

• לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.

• נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב$\alpha_n,\beta_n$.
• כבר חישבנו ש:
  • $\alpha_0=0$
  • $\alpha_n=nb_n$
  • $\beta_n=-na_n$
• לכן ביחד נקבל כי $\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}$
• לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:

$\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}$

• לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור $\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2$ מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של $f'\in E$.
  • (זכרו שמותר להניח כי $f'\in E$ על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
• לכן $\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)$ חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
• לכן סה"כ $\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}$ חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.

• סה"כ קיבלנו כי $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}$ מתכנס.
• לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ ו$\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ מתכנסים, כפי שרצינו.

שיוויון פרסבל

• נביט במערכת האורתונורמלית $\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E$, ותהי $f\in E$.
• ידוע לנו כי $a_0=\langle f,1\rangle$, ולכן $\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$

• נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב $S_n$.
• $S_n$ היא ההיטל של $f$ על הקבוצה האורתונורמלית $\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}$
  • אכן $\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• נזכור כי $||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2$
  • לכן $||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2$.
• כמו כן, נזכור כי $||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2$
  • לכן $||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2$

• אי שיוויון בסל אומר כי $\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$
• כלומר:

$\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx$

• משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2$

• אם נוכיח ש $||f-S_n||^2\to 0$, נסיק כי $||S_n||^2\to ||f||^2$ וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.

הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש

• תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימת $f(-\pi)=f(\pi)$, כך שהנגזרת שלה $f'$ רציפה למקוטעין.
• נסמן $d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|$
• הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר $d_n\to 0$.
• לכן $||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0$

דוגמא

• הפונקציה $f(x)=x^2$ מקיימת את דרישות המשפט.
• נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:

$\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}$

$\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}$

• ולכן:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$

הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי

• תהי $f \in E$, אנחנו מעוניינים להוכיח כי $||f-S_m||\to 0$.
• נבנה סדרת פונקציות $f_n$ רציפות בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימות $f_n(-\pi)=f_n(\pi)$, כך שהנגזרות שלהן $f_n'$ רציפות למקוטעין, המקיימות:

$||f-f_n||\to 0$

• יהי $\varepsilon$, נבחר $n$ כך ש $||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}$.
• נסמן ב$T_m$ את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של $f_n$.
• ראינו כי $\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0$.

• כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
  • $||f-S_m||\leq ||f-T_m||$
• כמו כן, $||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||$
• קיים מקום החל ממנו לכל $m$ מתקיים כי $||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}$.
• לכן החל ממקום זה $||f-S_m||<\varepsilon$ כפי שרצינו.

בניית סדרת הפונקציות

• f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
• לכן ניתן לבחור חלוקה $P$ הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש $|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}$ לכל זוג נקודות $x,c_k\in [x_{k-1},x_k]$.
• נבחר נקודות כלשהן $c_k$ בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע $f(c_k)$.
• כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
  • $\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon$
• לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל $g_n$ כך ש$||f-g_n||<\frac{1}{n}$

• כעת נגדיר סדרת פונקציות $f_n$ להיות $g_n$, פרט לשינויים הבאים:
  • עבור $\delta$ שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים $[x_k-\delta,x_k]$.
  • נגדיר $f_n(-\pi)=g(\pi)$.
  • נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע $[x_0,x_0+\delta]$.
• עבור $\delta$ קטנה מספיק, $\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}$.

• סה"כ נקבל כי
  • $f_n$ מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
  • $f_n(-\pi)=f_n(\pi)$
  • אכן מתקיים כי $||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0$

יחידות טור פורייה

הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?

• תהיינה $f,g\in E$ בעלות אותם מקדמי פורייה.
• אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?

• מקדמי הפורייה של $f-g$ הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:

$||f-g||^2=0$

• לכן $f=g$.

• שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש$f=g$ פרט למספר סופי של נקודות.

האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?

• קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע $[-\pi,\pi]$, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
• יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
• מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.

הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים

תופעת גיבס

• ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
• כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.

• נביט בטור פורייה של הפונקציה x:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$

• נסמן ב$S_m$ את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:

$S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})$

• כעת,

$\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx$

• לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:

$\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56$

• (הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
• כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
• אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה $\pi$, נקבל בערך $-0.089$.

• לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.

טור הסינוסים וטור הקוסינוסים

• עבור פונקציה $f$ הרציפה בקטע $[0,\pi]$ ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה $f^+$ הזוגית בקטע $[-\pi,\pi]$, או ל$f^-$ האי זוגית בקטע $[-\pi,\pi]$.

• את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$. זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה $f$.
• הוכחה:
  • $f^+$ רציפה ב$[-\pi,\pi]$, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש$f(-\pi)=f(\pi)$.

• את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע $(0,\pi)$. זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה $f$.
• אם $f(\pi)=f(0)=0$ אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$.
• הוכחה:
  • $f^-$ רציפה כיוון ש$f(0)=0$, ומתקיים כי $f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)$.

• חישוב המקדמים:
• עבור טור הקוסינוסים:
  • $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx$
• עבור טור הסינוסים:
  • $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx$

דוגמאות

• נחשב טור קוסינוסים של $e^x$:
  • $a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)$
  • $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}$
  • הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע $[0,\pi]$:

$e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx)$

• לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את $\int_0^x$ בשני הצדדים ונקבל:

$e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)$

• נציב למשל $x=0$ ונקבל את השיוויון:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}$

• נחשב טור סינוסים של $e^x$:
  • $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}$
  • הטור מתכנס בקטע $(0,\pi)$:

$e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx)$

• נחשב טור סינוסים של $f(x)=\pi x - x^2$.
• שימו לב: $f(0)=f(\pi)=0$.
  • $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}$
  • לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$:

$\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)$

• לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את $\int_0^x$ בשני הצדדים ונקבל:

$\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)$

• שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.

הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה

פתרון משוואת החום

• נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה $u(x,t)$:
  • $u_t-ku_{xx}=0$
  • $u(x,0)=f(x)$ (תנאי התחלה)
  • $u(-\pi,t)=u(\pi,t)$ (תנאי שפה)
  • $u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)$ (תנאי שפה)
  • כאשר $x\in[-\pi,\pi]$, ו$t\in[0,\infty)$
• על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.

• נחפש פתרון מהצורה $u(x,t)=X(x)\cdot T(t)$.
• נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:

$X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)$

• נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:

$\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$

• כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
• נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:

$\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$

• כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
• שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
  • עבור $\lambda=0$:
    • $X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}$, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי $c=0$
    • $T_0(t)=1$ (הקבוע יבלע בקבוע של $X_0(x)$)

• • עבור $\lambda\neq 0$:
    • $X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)$
    • $T=e^{-k\lambda t}$ (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב$X(x)$)

• ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור $\lambda=n^2$ הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
• גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
• צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).

• לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:

$u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$

• כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים $a_n,b_n$.
• נציב כעת בתנאי ההתחלה $u(x,0)=f(x)$ ונקבל בעצם את טור הפורייה:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
• מדוע זה יהיה פתרון?
  • נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
  • בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור $t\in [a,\infty)$ לכל $a>0$ ולכל $x\in[-\pi,\pi]$.
  • לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

התמרת פורייה

טור פורייה המרוכב

• לא קשה לוודא כי $\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:

$\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$

• תהי $f\in E$, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:

$f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}$

• כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:

$\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n})$

• נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב$a_n,b_n$.

• נשים לב כי עבור $n=0$ נקבל:

$\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}$

• כעת עבור $n>0$ מתקיים:

$\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =$

$= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=$

$= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)=$

$=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

• (שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)

• כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות

• טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע $[-\pi,\pi]$.
• בהנתן גל $e^{inx}$, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$

• (שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו $-i$).

• מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל $e^{isx}$ נמצא את ה'אמפליטודה':

$\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx$.

• כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה $\mathcal{F}[f](s)$ נקראת התמרת פורייה של הפונקציה $f$.
• הערה - המקדם $\frac{1}{2\pi}$ לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.

• הערות כלליות:
  • נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב$F(s)=\mathcal{F}(f)(s)$.
  • $F(s)$ מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
  • לעומת זאת, $f(x)$ מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
  • לכל תדר $s$ יש שני גלים שמייצגים אותו, $e^{\pm isx}$.
  • כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.

• נסמן ב$G$ את אוסף הפונקציות $g$ הרציפות למקוטעין ב$\mathbb{R}$, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס $\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty$.
• לכל $f\in G$ התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
  • הוכחה:
  • $\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx$ מתכנס.
  • כיוון שהאינטגרל המגדיר את $F(s)$ מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.

דוגמאות

• נמצא את $\mathcal{F}(f)(s)$ עבור $f(x)=e^{-|x|}$.

$2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=$

$=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}$

• שימו לב - השתמשנו בעובדה ש$e^{isx}$ חסומה, ואילו $e^{-x}\to 0$ כאשר $x\to \infty$.
• לכן סה"כ קיבלנו כי $\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}$

• נמצא את התמרת הפורייה של $f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}$

$F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx =$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}$