משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11
תוכן עניינים
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. עם זאת, האינטגרל נותן אינדיקציה טובה לשטח זה ומאפשר לחשב אותו.
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף (1) של y=x2. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע :
(באופן כללי )
מעל כל תת קטע קטן נבנה "מלבן חוסם" שגובהו . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א . הדבר נכון לכל ולכן נוכל להשאיף את ולקבל , לכן .
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: אם אז .
משפט 0
אם ו- קדומות ל- בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן . לפי תוצאה ממשפט לגרנג' .
הגדרה: תהי רציפה בקטע . נסמן ב- את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-.
- לכל נגדיר אזי .
- אם קדומה ל- ב- אז .
הוכחה
- גרף (3). רואים ש- וננסה להוכיח ש-. יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה . בציור: = שטח הארובה, = בסיס הארובה, לכן = הגובה הממוצע של הארובה. לכן = הגובה הממוצע כאשר =.
- נתונה פונקציה קדומה . מחלק 1 ידוע גם ש- פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-. לכן .
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י ו- בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של :
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות ואת הפרמטר של P להיות .
לכל k כך ש- נגדיר וכן .
גרף (4).
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
= סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a | ||||||
לכל k מתקיים . | ||||||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון" .
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- אם ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-: .
לכל k מתקיים וכן . לכן ואילו .
מכאן ו-. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-. תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת כך ש- עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר ו-. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע עבור כלשהו. לכן
לפי ההגדרות ולפיכךאת ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק .
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי .
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים .
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכ שתי חלוקות P,Q של מתקיים ולכן . כמו כן, לפי ההגדרה ו-.