משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - , שפתרונו פשוט עבור F פונקציה קדומה ל-f.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק (עבור ): לפי ההגדרה . לכן עבור מתקיים ועבור , .
דוגמאות חישוב
- (מהפיכת כלל השרשרת)
- (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
- - למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים מה האינטגרל. המסר הוא שהאינטגרציה קשה.
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
- . אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל , ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
- . נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: ובסה"כ .
- .
- .
- ולכן .
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז ולפיכך .
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה נקבל . נעביר אגף: , נחזור לאינטגרל ונקבל .
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
- : נציב ולכן ולפיכך .
- : נציב ואז ונובע ש-.
- : נציב ולכן .
- : עבור נקבל .
- .
- : נציב ונקבל .
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: . - : נציב ונקבל .
- : נציב ואז . מכאן ש-.
- : נציב ומכאן ש-. לבסוף, גרף (1) ואז .
דרך אחרת: . נגדיר ושוב נקבל - : נציב ולכן .
- : נבחר כדי לקבל .
שיטה אחרת: ואז .
שיטה אחרונה: .
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: .