משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11
תוכן עניינים
שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
דוגמה 1
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-
פתרון: נשים לב להגדרת לפיה האינטגרל שווה ל-. מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - ועבור II - ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה היינו מחשבים לפי שטח טרפז.
- . פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן . קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל.
- , כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן . זוהי אליפסה שמרכזה ב-. נסמן ולפי נוסחה לשטח אליפסה () נקבל והאינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר .
האינטגרל הלא מסויים
המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, ולכן
דוגמה 1 (שיטת פירוק)
חשב .
פתרון
זה שווה ל-
באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה:
דוגמה 2
. דרך א: האינטגרל הוא . זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:
בדיקה: אפשר לגזור על הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה.
שיטת ההצבה:
דוגמה 3
חשב .
פתרון
נציב ולכן . נחזור לתרגיל:
באופן כללי: בפונקציות מהצורה (עבור ) נשתמש בשיטת ההצבה אם אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה:
אינטגרציה בחלקים: הכלל
דוגמה 4
חשב את האינטגרלים הבאים:
- . פתרון: לפי אינטגרציה בחלקים, . לכן האינטגרל שווה ל-. מסקנה: כל פולינום ממעלה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mathdd לא מוכרת): n\in\mathdd N
כפול פונקציה שמקיימת (עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mathdd לא מוכרת): m\in\mathdd N
) נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.
- . פתרון: נסמן ואז .
- פתרון: ואז . ולפי אינטגרציה שנייה: ולכן .
מסקנה: במקרה של f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש בשיטה זו.
דוגמה 5
.
פתרון
בשיטת ההצבה, והאינטגרל הנ"ל שווה ל-