משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
גרסה מ־14:16, 22 במרץ 2011 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "===דוגמאות=== # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\...")
דוגמאות
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx
. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב . לכן . דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. . לכן השטח הוא . נציב ... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה היינו צריכים לבחור כך ש-, אבל יכולנו לבחור כי אז , ועבור יכולנו לבחור . אם כן היינו מוצאים . הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר . הטווח של האינטגרציה היה , שכולל תחומים בהם . בתחומים אלה צריך לבחור ולחלק את הקטע לתחומים שונים לפי הסימן של .
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע מתקיים כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא .
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - . כעת נניח ש- רציפה ב- ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של , . תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום ומינימום בקטע זה. נסמן ב- הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים . יוצא שהנפח בסה"כ הוא ומתקיים . נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק ובצד שמאל . ז"א לכל חלוקה P . נשאיף וכיוון ש-f רציפה גם רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול .
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: .
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) . לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה