משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
הערה
אם במ"ש על I אז לכל ברור שמתקיים , כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
- במ"ש ב-I
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי . אבל אם ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים לכל . נובע מיד שאם אז ולכן והוכחנו , כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים ולכן לכל , לכל .
דוגמה
בקטע ברור כי . טענה: הגבול נקודתי ולא במ"ש. הוכחה: . נעיר כי בקטע עבור דווקא יש התכנסות במ"ש. הוכחה: ולכן , כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה כל רציפה ב-. אזי גם f רציפה ב-.
הוכחה
יהי נתון. במ"ש ב-I קיים n טבעי מסויים כך שלכל מתקיים . כעת נתון ש- רציפה ב- ולכן קיים כך שאם אז נובע שאם אז עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \varepslon לא מוכרת): |f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepslon/3+\varepslon/3+\varepslon/3=\varepsilon .
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי . כאן כל רציפה ב- ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב- ונניח שקיים במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים .
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין). נוכיח רק ש-. שקול להוכיח ש-. ובכן יהי נתון. כיוון ש- במ"ש על I . נובע שלכל . מכאן נובע ש-.
דוגמה
גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0)
טענה: לעל אז . הוכחה: עבור לכל n ולכן . אם אז קיים כך ש- עבור כל מתקיים ולכן לכל ונובע ש-. בזה הוכחנו את הטענה ש- נקודתית ב-. נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו .
טענה: (כאשר היא הפונקציה הגבולית).
הוכחה: לכל n השטח מתחת לגרף = = 1 = שלא שואף ל-0.
השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז ב-I.
דוגמה נגדית: טענה: במ"ש בכל . הוכחה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\left{|\sin\left(n^2x\right)|}n=\frac1n\to0 . טענה: . הוכחה: לכל n ולכל מתקיים ועבור כלשהו שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה בקטע . הסדרה מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) והסדרה מתכנסת במ"ש ל-g ב-. אזי קיים לכל ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-. יתר על כן .
הוכחה
נקח כלשהי. לכל n הפונקציה רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר . נעביר אגף: . כעת נתון שקיים . נקרא לו . יתר על כן נתון ש- במ"ש ב- וכל שכן במ"ש בתת הקטע בין ל-x. נסיק ממשפט 3 ש- נובע שלכל קיים והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש- לפי הנתון כל רציפה ו- במ"ש על . לכן משפט 2 נותן ש- רציפה ב- וכיוון שלכל מתקיים . החלק הראשון של המשפט היסודי נותן לכל .