משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11
תוכן עניינים
תרגיל ברוח מבחן
נניח ש- במ"ש על I וש- חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם נקודתית ב-I.
פתרון
אם במ"ש ב-I אז נוכל לקחת ולמצוא n מסויים כך שלכל מתקיים ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל מתקיים . לכן . נתון ש- חסומה, נניח אזי .
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר ב-. אזי נקודתית וכל חסומה ע"י n, אלא ש-, שבוודאי לא חסומה.
הגדרה: נתונה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז ב-I.
משפט 5
סדרת פונקציות בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
הוכחה
תחילה נניח שקיים במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי נתון. לפי הנתון ש- במ"ש ב-I, קיים כך שאם אז לכל .
כעת אם אז לכל מתקיים .
לצד השני, נניח ש- מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח כלשהו ונעיר שסדרת המספרים היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל קיים כך שאם אז לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול . הדבר נכון לכל וכך נוצרת פונקציה גבולית . נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי נתון. עפ"י תנאי קושי יש כך שלכל מתקיים לכל . כעת נבחר מסויים ועבור כלשהו נשאיף כלומר הדבר נכון לכל ולכל . לכן הוכחנו ש- במ"ש ב-I.
טורי פונקציות
נאמר שהטור מתכנס ל- במ"ש על I אם במ"ש על I.
הגדרה: הטור מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז לכל .
משפט 6
הטור מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
הוכחה
לפי הגדרה מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים מתכנס במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל קיים כך שאם אזי לכל , שמתקיים אם"ם לכל וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)
נניח שלכל n הפונקציה מוגדרת ב-I וחסומה שם: לכל . עוד נניח שהסכום מתכנס ממש. אזי מתכנס במ"ש על I.
הוכחה
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור קושי במ"ש ב-I. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים כך שאם אזי או (כי ). כעת אם אז לכל מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\sum_{k=m}^n f_n\right|\le\left|\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon
ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
מסקנה
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל מתכנס בהחלט.
הוכחה
נקח כלשהו. לפי נתון לכל k נתון ש- מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה מתכנס.
דוגמה
נוכיח שהטור ההנדסי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \infyt לא מוכרת): \sum_{n=0}^\infyt x^n
מתכנס נקודתית בקטע אבל לא במ"ש ונוכיח שאם הטור מתכנס ב-. תשובה: כבר הוכחנו שאם אז מתכנס ל-. ההתכנסות אינה במ"ש כי לכל סכום חלקי חסומה בקטע . . אם היה נכון ש- במ"ש ב-. היינו מסיקים שהפונקציה חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם אז במ"ש על . ובכן בקטע מתקייים כאן . כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש- מתכנס במ"ש ב-.
משפט 8
נניח ש- עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה כל רציפה ב- אז גם S רציפה ב-x_0</math>.
הוכחה
לכל N הסכום החלקי סכום סופי של פונקציות רציפות ב-.
מאינפי 1 ידוע ש- רציפה ב- עבור כל N. נתון במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-.
מסקנה
בתנאים של משפט 8, אם כל רציפה ב-I כולו אז גם f רציפה ב-I כולו.
משפט 9
נניח במ"ש על . עוד נניח שכל אינטגרבילית ב-. אזי S אינטגרבילית ב- ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b</math\sum_{n=1}^\infty f> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b] .
הוכחה
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים ונתון במ"ש על . לפי משפט 3 כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מתאנו שקיים גבול לפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא והוכחנו שהוא שווה .
משפט 10
יהי טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח:
- עבור אחד לפחות הטור מתכנס.
- סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש לפונקציה g על I.
אזי מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים . בפרט, בתנאים אלה .
הוכחה
בהרצאה הבאה
דוגמה ממבחן
לכל נגדיר . הוכיחו ש-f מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל ) ו-S בכלת נגזרת רציפה לכל .
פתרון
בהרצאה הבאה