תרגיל ברוח מבחן

נניח ש- $f_n\to f$ במ"ש על I וש- $f_n$ חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם $f_n\to f$ נקודתית ב-I.

פתרון

אם $f_n\to f$ במ"ש ב-I אז נוכל לקחת $\varepsilon=1$ ולכן קיים n מסויים כך שלכל $x\in I$ מתקיים $|f(x)-f_n(x)|<1$ ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל $x\in I$ מתקיים $|f(x)|-|f_n(x)|<1$ . לכן $|f(x)|<|f_n(x)|+1$ . נתון ש- $f_n$ חסומה, נניח $|f_n(x)|\le M$ אזי $\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1$ . $\blacksquare$

לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר $f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}$ ב- $(0,1)$ . אזי $f_n\to f$ נקודתית וכל $f_n$ חסומה ע"י n, אלא ש- $f(x)=\frac1x$ , שבוודאי לא חסומה. $\blacksquare$

הגדרה: נתונה סדרת פונקציות $\{f_n\}$ בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$ ב-I.

משפט 5

סדרת פונקציות $\{f_n\}$ בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.

הוכחה

תחילה נניח שקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. לפי הנתון ש- $f_n\to f$ במ"ש ב-I, קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>n_0$ אז $|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2$ לכל $x\in I$ .

לצד השני, נניח ש- $\{f_n\}$ מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח $x_0\in I$ כלשהו ונעיר שסדרת המספרים $\{f_n(x_0)\}$ היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon$ לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול $\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$ . הדבר נכון לכל $x_0\in I$ וכך נוצרת פונקציה גבולית $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ . נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי $\varepsilon>0$ נתון. עפ"י תנאי קושי יש $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $m>n>n_0$ מתקיים $|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2$ לכל $x\in I$ . כעת נבחר $n>n_0$ מסויים ולכל $x\in I$ נשאיף $m\to\infty$ כלומר $|f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$ . לכן הוכחנו ש- $f_n\to f$ במ"ש ב-I. $\blacksquare$

טורי פונקציות

נאמר שהטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס ל- $S(x)$ במ"ש על I אם $S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x)$ במ"ש על I.

הגדרה: הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $\left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ .

משפט 6

הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.

הוכחה

לפי הגדרה $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים $\{S_N(x)\}$ מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם $\{S_N(x)\}$ קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אזי $|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ , שמתקיים אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. $\blacksquare$

משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)

נניח שלכל n הפונקציה $f_n(x)$ מוגדרת ב-I וחסומה שם: $|f_n(x)|\le M_n$ לכל $x\in I$ . עוד נניח שהסכום $\sum_{n=1}^\infty M_n$ מתכנס ממש. אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס במ"ש על I.

הוכחה

נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש- $\sum_{n=1}^\infty M_n$ מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אזי $\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon$ , כלומר $\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon$ (כי $M_k\ge0$ ). כעת אם $n>m>n_0$ אז לכל $x\in I$ מתקיים $\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon$ ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור $\sum f_n(x)$ במ"ש על I. $\blacksquare$

מסקנה

בתנאים של מבחן וירשטרס לכל $x\in I$ , $\sum f_n(x)$ מתכנס בהחלט.

הוכחה

נקח $x\in I$ כלשהו. לפי נתון $\forall n:\ |f_n(x)|\le M_n$ וכן $\sum M_n$ מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה $\sum |f_n(x)|$ מתכנס. $\blacksquare$

דוגמה

נוכיח שהטור ההנדסי $\sum_{n=0}^\infty x^n$ מתכנס נקודתית בקטע $(-1,1)$ אבל לא במ"ש ונוכיח שאם $0<r<1$ הטור מתכנס ב- $[-r,r]$ : כבר הוכחנו שאם $-1<x<1$ אז $\sum_{n=0}^\infty x^n$ מתכנס ל- $\frac1{1-x}$ .

נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי $S_N$ חסום בקטע $(-1,1)$ : $|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N$ . אם היה נכון ש- $S_N(x)\to\frac1{1-x}$ במ"ש ב- $(-1,1)$ היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה $\frac1{1-x}$ חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.

נותר להוכיח שאם $r\in(0,1)$ אז $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}$ במ"ש על $[-r,r]$ . ובכן בקטע $[-r,r]$ מתקייים $|x^n|\le r^n=M_n$ כאן $\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}$ . כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש- $\sum_{n=0}^\infty x^n$ מתכנס במ"ש ב- $[-r,r]$ . $\blacksquare$

משפט 8

נניח ש- $S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה $x_0\in I$ כל $f_n$ רציפה ב- $x_0$ אז גם S רציפה ב- $x_0$ .

הוכחה

לכל N הסכום החלקי $S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)$ סכום סופי של פונקציות רציפות ב- $x_0$ .

מאינפי 1 ידוע ש- $S_N(x)$ רציפה ב- $x_0$ עבור כל N. נתון $S_N\to S$ במ"ש על I.

לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב- $x_0$ . $\blacksquare$

מסקנה

בתנאים של משפט 8, אם כל $f_n$ רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.

משפט 9

נניח $S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ במ"ש על $[a,b]$ . עוד נניח שכל $f_n$ אינטגרבילית ב- $[a,b]$ . אזי S אינטגרבילית ב- $[a,b]$ ו- $\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f$ בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב- $[a,b]$ .

הוכחה

כרגיל נגדיר סכומים חלקיים $S_N$ ונתון $S_N\to S$ במ"ש על $[a,b]$ . לפי משפט 3 $\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n$ כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n$ ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא $\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n$ , שהוכחנו ששווה ל- $\int\limits_a^b S$ . $\blacksquare$

משפט 10

יהי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:

עבור נקודה $x_0\in I$ אחת לפחות הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ מתכנס.
טור הנגזרות $\sum_{n=1}^\infty f_n'$ מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.

אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים $S'=s$ . בפרט, בתנאים אלה $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)$ .

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

הוכחה

נגדיר סכומים חלקיים $S_N=\sum_{n=1}^N f_n$ . הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה $x=x_0$ קיים $\lim_{N\to\infty} S_N(x)$ . הנתון השני אומר שקיים $s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)$ במ"ש ב-I. ז"א הסדרה $\{S_N(x)\}$ מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים $S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)$ ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו- $S'=s$ . עתה $S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ וכן $s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'$ . מכיוון ש- $S'=s$ נסיק $\frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=2}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'$ . $\blacksquare$

דוגמה ממבחן

לכל $x\in\mathbb R$ נגדיר $S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}$ . הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל $x\in\mathbb R$ ) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל $x\in\mathbb R$ .

פתרון

לפי מבחן ה-M של וירשטרס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: $\forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}$ . כעת $\sum\frac1{n^3}$ מתכנס, לכן $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}$ מתכנס במ"ש על $\mathbb R$ , כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש- $S'$ קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}$ מתכנס בכל נקודה ב- $\mathbb R$ וכן הטור הגזור הוא $\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}$ . לכל n מתקיים $\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2}$ ו- $\sum\frac1{n^2}$ מתכנס. ע"י מבחן ה-M של וירשטרס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על $\mathbb R$ ולכן $S'$ קיימת ובפרט $S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}$ . ברור כי $\frac{\cos(nx)}{n^2}$ רציפה ב- $\mathbb R$ ולכן, מכיוון שההתכנסות ל- $S'$ במ"ש, גם $S'$ רציפה (לפי משפט 8). $\blacksquare$