לכסון אורתוגונלי
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
לכסון אורתוגונלי
Keep it coming, witerrs, this is good stuff.
הוכחה לאלגוריתם
- ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית
- ידוע שאם P אורתוגונלית אזי
- נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית.
טענה
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית
הוכחה
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן ולכן (כי D אלכסונית).
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).
לכן, ולכן אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר ולכן בהכרח כלומר הם מאונכים.
- לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
- לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
- מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
- לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
- לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
- לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
- אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
- בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.