משפט לייבניץ
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־00:57, 15 בפברואר 2012 מאת עוזי ו. (שיחה | תרומות) (משפטים/אינפי/משפט לייבניץ הועבר למשפט לייבניץ)
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיוון ש שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.