פונקציה רציפה במידה שווה
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־01:08, 15 בפברואר 2012 מאת עוזי ו. (שיחה | תרומות) (משפטים/אינפי/נגזרת חסומה רציפות במש הועבר לפונקציה רציפה במידה שווה)
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות בקטע המקיימות
לכן קיימת תת סדרה כך ש:
(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות בין כך ש
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.