משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11
תוכן עניינים
השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי חלוקה של (). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-. כמו כן נגדיר את , המסומן גם כ- ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור . אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-.
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-.
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- ונגדיר לכל נקודה ב-. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של שנקודותיה הן . לכן
g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||||||
הטורים הללו טלסקופיים: |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן .
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב- כך ש-.
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן . כמו כן נגדיר לכל x את ו-. לכן תמיד ומתקיים ו-. עתה נגדיר ו-. לכן . עוד נגדיר ו-. נסמן ו-, לכן מתקיים ו-. נעיר שלכל Q מתקיים ולפיכך . לבסוף, נשים לב ש- (כי ולכן ).
למה
בסימונים הנ"ל:
הוכחת הלמה
- מתקיים נסיק ש- ולכן . הראנו כבר ש- ולכן מותר להעביר אגף: . כמו כן נסיק ש- ולכן . עתה נעביר אגף לקבל ולכן .
- מתקיים . נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל . כבר הראנו ש- ולכן .
הוכחה
לכל נגדיר , כאשר וכל Q היא חלוקה של הקטע . באופן דומה נגדיר . לפי סעיף 1 של הלמה, ולכן . לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש- ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם מונוטונית עולה).
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים ולכל קיים .
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-. קל לראות שהן חסומות ב- (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע.
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע.