משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: , ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
- עפ"י משפט 2, מתכנס אם"ם מתכנס. באותו אופן מתכנס אם"ם מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים אז הם שווים ל-.
- ובכן עפ"י משפט 2, וגם . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- f אינטגרבילית בקטע (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-). לכן נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע . אם אין גבול אומרים ש- מתבדר.
דוגמאות
- נקח ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי . עבור נקבל והאינטגרל מתבדר. עבור נקבל .
- . נציב וכן לקבל , ובפרט מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת: .
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע אם"ם היא אינטגרבילית בקטע ואם כן .
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי קיים אם"ם f חסומה בקטע .
משפט 4
אם אז האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים .
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש- ונניח שקיים ממש . אם מתכנס אז מתכנס.
מסקנה
אם בפרט אז מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
משפט 7
האינטגרל מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי:
משפט 8
אם מתכנס בהחלט אז מתכנס.
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים ). כמו כן, אם f מוגדרת ב- ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים עבור כלשהו ונאמר ש- מתכנס אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
אם f מוגדרת ב- למעט איזו נקודת בייניים שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.