לכסון מטריצה
הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.
אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית
משפט.
תהי מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.
הוכחה.
ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
נכפול משמאל במטריצה P לקבל
נסמן את עמודות המטריצה P ב ואת איברי האלכסון של D ב.
לפי שיטת כפל עמודה עמודה אנו שמים לב כי השיוויון
שקול לכך שלכל i מתקיים
ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש כיוון שP הפיכה).
בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב .
סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.
בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים
כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל
כלומר A לכסינה.
דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות
באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
ולכן
אבל
לכן סה"כ אנחנו מקבלים
כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.