88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 9
שאלה 1
יהיו הממ"חים , כאשר היא מידת הספירה.
נגדיר פונקציה ע"י .
א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה ?
ב. הוכיחו כי מדידה במרחב המכפלה.
ג. הוכיחו כי מתקיים
ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.
שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א)
א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה .
ב. צטטו את משפט טונלי.
ג. נניח ש- ו- הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות ו- שלימות ו--סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה . תהי מדידה , ותהי .
הוכיחו שלכמעט כל הקבוצה מקיימת .
יש לפתור רק את סעיף ג'
שאלה 3
השתמשו בזהות ובמשפט פוביני כדי לחשב את בשתי דרכים שונות.
ע"י זה הוכיחו כי .
אינטגרל שימושי:
הערה: האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום במקום .
שאלה 4
יהי אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים . ברור כי הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).
לכל פולינום נגדיר את להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של .
האם היא נורמה על ? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?
שאלה 5
יהי מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי תת מרחב סגור. הוכיחו כי הוא מרחב בנך.
זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!