תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג
מתוך Math-Wiki
הערות:
- לכל שתי פונקציות פיזיקליות של הזמן נסמן . למשל, , כלומר היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
- לפעמים נסמן במקום .
- לכל וקטור נסמן כ־ את גודלו וכ־ את כיוונו.
- נזכיר שלכל פונקציה מגדירים .
תוכן עניינים
הקדמה
יחידות
- זמן – שנייה:
- מרחק – מטר:
- מסה – קילוגרם:
- כוח – ניוטון:
- אנרגיה – ג׳אול:
- תדירות – הרץ:
קבועים
- גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:
- קבוע הגרביטציה האוניברסלי:
תזכורות ונוסחאות
- מכפלה וקטורית:
- דל: . הגרדיאנט הוא , הדיברגנץ הוא , הרוטור/קרל – , והלפלסיאן – .
קואורדינטות
- עבור קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
מ־← ל־↓ קרטזיות גליליות כדוריות קרטזיות גליליות כדוריות כאשר ו־.
- .
- .
- התדירות הזוויתית: .
- התנע: .
- תנועה במהירות קבועה: . אזי .
- תנועה בתאוצה קבועה: . אזי ו־.
- תנועה בגודל מהירות קבוע: . זה קורה אם״ם .
- תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור שרדיוסו אזי , , ו־ כאשר נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן נקבל ו־.
- תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־. לכן ו־. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
- התדירות מוגדרת כ־.
- זמן המחזור מוגדר כ־.
- גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: .
- הכוח שפועל על גוף נתון הוא .
- אם גוף 1 מפעיל כוח על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח על גוף 1.
- האנרגיה הקינטית של גוף היא .
- העבודה שמבצע כוח בין הזמנים עד היא .
- .
- כוח משמר: כוח המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל :
- האינטגרל אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום .
- לכל מסלול סגור מתקיים .
- קיימת פונקציה בתחום כך ש־ לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
- קיימת פונקציה בתחום כך ש־.
- מתקיים .
- אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר היא כאשר היא נקודת הייחוס.
- אם על גוף פועל כוח משמר אז .
- אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא .
- חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז , כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
- פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור היא . גודל התנע הזוויתי הוא ולכן כאשר הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.
- המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־.
- מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־.
- התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־.
- לפי החוק השלישי של ניוטון .
- חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא אז , כלומר התנע הכולל קבוע.
- אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
- חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז .
- התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־.
- הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־.
- חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־ אז .
- מערכת אינרציאלית: מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
- כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
- טרנספורמציות גליליי: טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם אינרציאלית ו־ מתקבלת מ־ ע״י טרנספורמציית גליליי אז אינרציאלית.
- מקרים פרטיים: ; ; כאשר היא מטריצת סיבוב קבועה; ; ; . ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
- מערכת מואצת: . אם אינרציאלית ו־ אז אינה אינרציאלית, כי . אם נדמיין שפועל כוח מדומה על הגוף ב־ אז נקבל מערכת שאינרציאלית אם אינרציאלית.
- מערכת מסתובבת: כש־ היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית . אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־ ו־ אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: הכוח הצנטריפוגלי וכוח קוריוליס .
- פונקציונל: פונקציה ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה כאשר היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
- מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה שעבורה ו־ מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר דיפרנציאבילית ו־ גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: .
- תהי התמרת קואורדינטות מ־ ל־. אם מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־ אזי גם מקיימת אותה ל־.
- פעולה: הפונקציונל . הלגראנז׳יאן נקרא הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת, והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
- עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל .
- תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות : הווקטור שרכיביו .
- כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות : הווקטור שרכיביו .
- ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־.
- קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת ולכן .
- התמרת לז׳נדר: תהי פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה ונגדיר . לכן מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית . התמרת לז׳נדר של מוגדרת כ־.
- .
- התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
- המילטוניאן הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של , כלומר כאשר התנע הצמוד ל־ ו־. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
- משוואות המילטון: . לכן במרחב ־מימדי נקבל מד״ח מסדר ראשון במקום מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
- בקואורדינטות קרטזיות התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
- סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים כאלה מוגדרים כ־.
- .
- מתקיים כאשר הוא השינוי ב־ לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י .
- מרחב פאזה: בהנתן מערכת עם גופים במרחב ־מימדי, משוואות המילטון נותנות משוואות ב־ נעלמים (כש־ וקטורי קואורדינטות ו־ תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב ־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
- נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר ולכל גודל פיזיקלי נסמן . אזי . אם הקואורדינטות קרטזיות אז ו־.
- משפט ליוביל: נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח אינווריאנטי בזמן, כלומר .
- חבורת לי: חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה תלוי ב־ פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) כך שאם אז פונקציה חלקה לכל ואם אז פונקציה חלקה לכל . ייקרא המימד של החבורה.
- משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, לכל איבר במשפחה ו־.
- האלגברה של חבורות לי: תהי חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית . איבר היחידה הוא ונגדיר . אם אז היא הנגזרת רכיב־רכיב של , ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של " (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות נקראת האלגברה של . אם אז שייכת לאלגברה.
- מפה אקספוננציאלית: בכל משפחה חד־פרמטרית כל איבר שווה ל־ לכל . כמו כן, .
- משפט נתר: נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר כלשהו, כאשר . אזי .
- הכללה: נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־ עבור טרנספורמציה , כאשר משתנים בלתי תלויים ו־ פונקציות של . אזי . אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
- מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
- חוק הוק: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה במצב רפוי ובנקודה בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי כאשר הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־ התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־ בלבד וש־ היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־ על הגוף תהא ולכן כש־ מסת הגוף, , ו־ היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא .
- אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־ בלבד וש־ היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־ על הגוף תהא ולכן כש־ מסת הגוף, , ו־ היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
- חוק הוק: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה במצב רפוי ובנקודה בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי כאשר הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־ התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- מטוטלת מתמטית: חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל כוח מתיחות כאשר וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־ גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא כאשר אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא . לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת . - כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
- כוח חיכוך:
- חיכוך סטטי מתקיים כשאין תנועה. מקדם החיכוך הסטטי של חומר מסומן ומקיים כש־ כוח החיכוך הסטטי ו־ הכוח הנורמלי.
- חיכוך קינטי מתקיים כשיש תנועה. מקדם החיכוך הקינטי של חומר מסומן ומקיים כש־ כוח החיכוך הקינטי ו־ הכוח הנורמלי.
- בקורס זה כל חומר מקיים .
- החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר .
אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא .- כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה כאשר מסת הגוף ו־ וקטור יחידה בכיוון מעלה.
אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז .
- כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה כאשר מסת הגוף ו־ וקטור יחידה בכיוון מעלה.
- כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
- התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
- התנגשות אלסטית: הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא ואחריה . אזי משימור התנע מקבלים . אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע , ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
- אורך המסלול שעבר גוף הוא . לכן ו־, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
קינמטיקה
מכניקה ניוטונית
חוקי התנועה של ניוטון
אנרגיה
מערכות גופים
תהא מערכת ובה הגופים . נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף כ־.
תנע זוויתי
מערכות ייחוס
בפרק זה נתונות שתי מערכות, , כך שאם גודל דינמי ב־ אז הוא יסומן כ־ ב־.