89-214 סמסטר א' תשעה
קישורים
הודעות כלליות
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
שיעור חזרה למבחן: יום רביעי, בשעה 11 בחדר סמינריונים. נעבור על תרגיל 7.
(זה לא במקום יום ראשון!)
השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')
תרגיל. תהי חבורה מסדר ( ראשוני). הראו כי .
פתרון. נניח בשלילה כי . מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים שיקיים . בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר . ננסה להראות כי הזה מתחלף עם כל איברי , ולכן , ובסתירה לבחירת .
ראשית, נשים לב לכך שהסדר של הוא ; אילו הסדר היה אז היה יוצר של כל , ואילו הסדר היה אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של גם הוא , באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה . נראה כי היא קבוצה מעוצמה : נניח כי קיימים עבורם . על ידי בידוד איברים, נקבל , והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים , ובסתירה להנחה . אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת היא .
ברור ש-, ולפי שויון עוצמות סופיות, . לכן כל איבר ב- ניתן לרשום בתור . (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם .
ראשית, נזכיר כי , כי . לכן . נחזור על הטיעון פעמים, ונקבל . כמו כן, ברור כי . ביחד, נקבל , כנדרש. מצאנו אפוא כי , ובסתירה לדרך שבה בחרנו את .
תרגיל. תהי חבורה מסדר ( ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
פתרון. לפי התרגיל הקודם, . לפי נוסחת המחלקות, (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', , וביחד נקבל . אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, , ו- אבלית.