סיווג נקודה חשודה

הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם $f'(x)=0$ או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x

סיווג נקודות חשודות

משפט. תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי

$f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0$

$f^{(n+1)}(a)\neq 0$

אזי:

• אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$אזי a נקודת מינימום מקומי
• אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)<0$אזי a נקודת מקסימום מקומי
• אם 1+n אי זוגי אזי a נקודת פיתול

הוכחה.

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים

$f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

לכן, אם n+1 זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$ לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה $f^{(n+1)}>0$ ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

$f(x)-f(a)\geq 0$

שכן $(x-a)^{(n+1)}\geq 0$ תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם $f^{(n+1)}(a)>0$ אזי x הינה נקודת מינימום

באופן דומה, אם $f^{(n+1)}(a)<0$ אזי x הינה נקודת מקסימום

אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של $(x-a)^{(n+1)}$ חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיוון שסימן $f^{(n+1)}$ קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד $f(x)>f(a)$ ומהצד השני $f(x)<f(a)$.

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא $y=f(a)$, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול