משפט לייבניץ

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי $a_n$ סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

• הטור $\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ מתכנס
• השארית $R_k=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n$ מקיימת $|R_k|\leq a_{k+1}$

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.

• $|S_m-S_n|=|(-1)^ma_m+...+(-1)^{n+1}a_{n+1}|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...|$

נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

$-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0$

לכן

$a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0$

כלומר

$0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}$

וכן הלאה עד שנקבל

$|S_m-S_n|<a_{n+1}$

וכיוון ש$a_n$ שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).

לפי טיעון דומה, $|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|=|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...|\leq a_{k+1}$ ולכן

$|R_k|=\lim_{K\rightarrow \infty}|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|\leq a_{k+1}$

כפי שרצינו.