פונקציה רציפה במידה שווה
מתוך Math-Wiki
פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל קיים כך שלכל x,y בקטע, אם אז . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות בקטע המקיימות
לכן קיימת תת סדרה כך ש:
(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות בין כך ש
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.