אינטגרציה בחלקים
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־00:41, 27 בינואר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
נסמן
ולכן
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
- .
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.
נסמן
לכן
ולכן
ומכאן יוצא
- .
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע כנגזרת של הפונקציה ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
נסמן
ולכן
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.