אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$.
• הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$, הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
  • כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

• טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
  • $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
• כעת, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• באופן דומה, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• עבור $n,k\in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור $n=0$ נקבל
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=$
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=$
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]$
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• $a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx$
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור $k=0$.
• באופן דומה נקבל כי $b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx$

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור $2\pi$.
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה $f$, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה $g$ על ידי:
  • לכל $k\in\mathbb{Z}$ ולכל $x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)$ נגדיר $g(x)=f(x-2\pi k)$.
  • ברור ש $g(x+2\pi) = g(x)$, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת $g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)$

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של $x^2$:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של $x^2$
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$.

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=$

$=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=$

$- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

• שימו לב כי לכל $n\in\mathbb{N}$ מתקיים כי $cos(n\pi)=(-1)^n$

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של $x^2$ שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

$\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב $\pi$.
• $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}$
• ונקבל את הסכום המפורסם

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$ מעל השדה $\mathbb{C}$.
  • פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות אי רציפות סליקות או קפיצתיות (מין ראשון).
• $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$ היא מכפלה פנימית מעל E.
• נביט בנורמה המושרית $||f||^2=\langle f,f\rangle$

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית $\{e_1,...,e_n\}$ הפורשת את המרחב W.
• לכל וקטור $v\in V$ נגדיר את ההיטל של $v$ על W על ידי $\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i$
• מתקיים כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$
  • הוכחה
• מתקיים כי $(v-\widetilde{v})\perp \widetilde{v}$
  • הוכחה
• מתקיים כי $||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2$
  • הוכחה
• מסקנה חשובה: $||\widetilde{v}||\leq ||v||$