חתכי דדקינד

הקדמה

• אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה $x^2=2$ (שורש שתיים).

• הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה $(1,1)$ לראשית הצירים $(0,0)$?

• האם ייתכן שהפרבולה $y=x^2-2$ עולה מהנקודה $(0,-2)$ אל הנקודה $(2,2)$ בלי לחתוך את ציר האיקס?

• כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

• כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה $y=x^2-2$ עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

• ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

• כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה $\left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}$, זו הקרן באיור.

• הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

• הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה $A\subseteq\mathbb{Q}$ המקיימת:
  • $A\neq\emptyset$
  • $A$ חסומה מלעיל.
  • לכל $m\in\mathbb{Q}$ מתקיים כי $m\notin A$ אם ורק אם $m$ חסם מלעיל של $A$

• הערות ותזכורות:
  • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
  • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
  • בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
  • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

• הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
• כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
• עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
• כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

• יהיו שתי חתכים $A,B$, נגדיר את החיבור:
  • $A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}$

• החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
  • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
  • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
  • יהי $a+b\in A+B$, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים $a<c\in A$ וכן $b<d\in B$ ולכן $a+b<c+d\in A+B$ ו$a+b$ אינו חסם מלעיל של $A+B$
  • יהי $m\in\mathbb{Q}$ שאינו חסם מלעיל של $A+B$, לכן קיימים $m<a+b\in A+B$. כעת $m-a<b$ כלומר $m-a$ אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ $m=a+(m-a)\in A+B$.

חתך האפס

• נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
• $0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}$

נגדי

• יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
  • $-A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}$

• לדוגמא $-\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}$

• הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
  • הנגדי לא ריק:
    • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן $-A\neq\emptyset$
  • הנגדי חסום מלעיל:
    • יהי $a\in A$ לכן לכל $m\notin A$ מתקיים כי $a<m$ ולכן $-m<-a$
    • לכל $x\in -A$ קיים $m\notin A$ כך ש $x<-m$ ולכן $x<-a$
    • בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של $-A$.
  • כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
    • לכל איבר בנגדי $x<-m$ לכן אמצע הקטע בין $x,-m$ גדול מ$x$ וקטן מ$-m$ ולכן שייך לנגדי $-A$ ולכן $x$ אינו חסם מלעיל.
  • אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
    • נניח $y$ אינו חסם מלעיל של $-A$ לכן קיים $y<x\in -A$ ולכן קיים $m\notin A$ כך ש $y<x<-m$ ולכן $y\in -A$

יחס סדר

• יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
• הוכחה:
  • יהיו שני חתכים A,B.
  • אם קיים $m\notin A$ חסם מלעיל של A כך ש$m\in B$ אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר $A\subseteq B$
  • אחרת, לכל $m\notin A$ מתקיים כי $m\notin B$. כלומר $\overline{A}\subseteq\overline{B}$ ולכן $B\subseteq A$

• נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש$0_D < A$ ונגדיר את החתכים השליליים על ידי $0_D > A$

• טענה: $A\geq 0_D$ אם ורק אם $-A\leq 0_D$
• הוכחה:
  • ראשית נניח כי $A\geq 0_D$
    • כלומר בעצם $0_D\subseteq A$ ולכן לכל חסם מלעיל $m\notin A$ מתקיים כי $0\leq m$.
    • לכן לכל $x\in -A$ מתקיים כי $x<-m<0$
    • כלומר כל האיברים ב$-A$ שליליים, ולכן $-A\subseteq 0_D$ כלומר $-A\leq 0_D$
  • בכיוון ההפוך, נניח כי $-A\leq 0_D$
    • לכן כל האיברים ב$-A$ שליליים.
    • אם קיים $0>m\notin A$ אזי $0<-\frac{m}{2}\in -A$ בסתירה.
  • לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר $0_D\subseteq A$ ולכן $A\geq 0_D$

כפל חתכי דדקינד

• יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים $0_D\leq A,B$, נגדיר את הכפל:
  • $A\cdot B =\left\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D \wedge y\in B\setminus 0_D\right\}\cup 0_D$
• אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
  • $A\cdot B = - ((-A)\cdot B)$
• אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
  • $A\cdot B = - (A\cdot (-B))$
• אם A,B שליליים נגדיר:
  • $A\cdot B = (-A)\cdot (-B)$

חתך היחידה

• נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
• $1_D=\{x\in\mathbb{Q}|x<1\}$

הופכי

• אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
• $A^{-1}=\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\not\in A:x<\frac{1}{m}\}$
• אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
• $A^{-1}=-(-A)^{-1}$

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

• הגדרה:
  • $\mathbb{R}$ הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.

• נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.

שלמות הממשיים

• תהי $\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים $M\in\mathbb{R}$ כך ש$\forall a\in A:a\leq M$. אזי קיים ל$A$ חסם עליון ממשי.

הוכחה

• נסמן ב$S$ את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל$A$, כלומר $S=\cup_{x\in A} x$

• נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
  • $S$ אינה ריקה
    • $A$ אינה ריקה, ולכן קיים $x\in A$.
    • כיוון ש$x$ חתך דדקינד הוא אינו ריק.
    • $x\subseteq S$ ולכן $S$ אינה ריקה
  • $S$ חסומה:
    • כיוון ש$M$ חסם מלעיל של $A$ לכל $x\in A$ מתקיים כי $x\leq M$
    • לפי יחס הסדר מתקיים כי $x\subseteq M$.
    • כיוון שלכל $x\in A$ מתקיים כי $x\subseteq M$ נובע כי גם $S\subseteq M$.
    • לכן $S$ חסומה מלעיל.
  • נוכיח כי $x\in S$ אם ורק אם $x$ אינו חסם מלעיל של $S$
    • אם $x\in S$ אזי $x\in D\in A$
    • אם $x$ חסם מלעיל של $S$ אזי הוא בפרט חסם מלעיל של $D$ בסתירה.
    • מצד שני, אם $m$ חסם מלעיל של $S$ הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי $A$ ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי $A$ ולכן אינו שייך ל$S$

• ברור כי לכל $x\in A$ מתקיים כי $x\leq S$ כיוון ש$x\subseteq S$ (כל קבוצה מוכלת באיחוד).

• נוכיח כי $S$ הוא החסם העליון של $A$.
• נב"ש כי קיים $T$ חסם מלעיל של $A$ כך ש $T<S$.
• לכן קיים $x\in S\setminus T$.
• לכן קיים $D\in A$ כך ש $x\in D$.
• לכן $D\not\subseteq T$ בסתירה לכך ש$T$ חסם מלעיל של $A$