משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11
תוכן עניינים
אינטגרציה
הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
(1)
ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
נחלק את הקטע :
מעל כל תת קטע קטן
נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-.
(2)
ז"א . הדבר נכון לכל . לכן נוכל להשאיף לקבל ולכן
בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: ...
משפט 0: אם ו- קדומות ל- בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה: נגדיר לכן
....
לפי תוצאה ממשפט לגראנג'
הגדרה: תהי רציפה בקטע . ...
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי מוגדרת ורציפה ב-. לכל נגדיר אזי לכל .
2) אם קדומה ל- ב- אז .
הוכחה: (א) (3) רואים המטרה .
עולה
כעת לפי ההגדרה
בציור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A(x+\Delta x}-A(x)
= השטח הארובה
= בסיס הארובה לכן = הגובה הממוצע של הארובה.
כאשר זה שואף ל- שהיא .
(ב) נתונה פונקציה קדומה אבל מחלק א ידוע שגם פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
לכן
הגישה של דרבו
תהי מוגדרת וחסומה בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של
עוד נגדיר לכל אורך תת קטע מספר k =
והפרמטר של P, מוגדר ע"י
לכל k, נגדיר וכן .
(4)
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון ושטח חסום תחתון
משפט 1: עבור כל חלוקה P
הוכחה: (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
(כי לכל k מתקיים )
לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)
ו"האינטגרל התחתון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב- נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב- אם עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx
ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int f
.
דוגמהף בקטע כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-
לכל k
וכן
לכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a
ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0
.
מכאן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0
ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2: תהי מוגדרת וחסומה ב-. תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(כאשר ו-)
ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-
הוכחה: מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת . כך ש-. בהתאם לכך נגדיר ו- כעת בכל תת קטע מתקיים . לא שינינו כלום. לכן עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \underbraces לא מוכרת): \bar S(f,P)-\bar S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}{(1)}-\underbraces{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}{(2)}
- תרומת קטע i ל-
- תרומת קטע i ל-
לפי עצם ההגדרות ו- לכן