משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11
אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
(1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
אינטגרבליות לפי דרבו
תהי T חלוקה. נסמן ו-. נגדיר וכן .
חלוקה
חלוקה
דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה מתחילה בקטע . נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון:
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות . ז"א .
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
...
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
עבור נרשום: ...
באופן דומה
מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא . הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה
יש טעות, היא תתוקן בהמשך.
דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע כאשר פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון: תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת . (לדוגמה: בחרנו חלוקה .
כאשר מתקיים ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
דוגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה . ברור כי אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- ולכל f אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
הוכחה: רוצים להראות כי לכל יש חלוקה המקיימת ב- ש-. נתון כי f אינטגרבילית ב- ולכן יש חלוקה שם מתקיים . נשים לב כי. נסמן ו-.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. ובאופן דומה: .
...
דוגמה 5: חשב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracnn לא מוכרת): \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)