משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11
תוכן עניינים
אינטגרל לפי רימן
הגדרה: יהי [a,b] קטע סגור. נסמן את כ- ונקרא ל-T חלוקה. נסמן כאשר . הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב- ותהי T חלוקה של הקטע עבור כל תת קטע ונבחר נקודה ונבנה סכום מהצורה סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי בחלוקה ו-. הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-. הגדרה: תהי סדרת חלוקות של הקטע . נאמר כי נורמלית אם . הגדרה: נאמר כי הסכומים 6 של רימן שואפים לגבול L כאשר ואם לכל קיימת כך שלכל חלוקה T עבור מתקיים .
דוגמה 1
דוגמה קלאסית היא פונקצית דיריכלה. לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהי נקודה...
קל לראות שגם כל הסכומים ביניהם מתקבלים.
דוגמה 2
קבוע אינטגרביליות של f בקטע [0,1] כאשר .
פתרון
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי נתון. צריך להוכיח כי קיימת כך שלכל חלוקה T, עבור מתקיים . נצייר את הפונקציה: גרף (1)
נזכיר כי L היא ערך האינטגרל ולכן, במקרה שלנו . נסמן את החלוקה T של [0,1] כ-. נבחר העדנה של T המקיימת ונבנה את סכום רימן באופן הבא: תהי הנקודה הכי קרובה ל- משמאל ותהי כנקדה הכי קרובה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \tfarc לא מוכרת): \tfarc23
משמאל. ברור כי . הסכום הוא
- שוב נקודת תפר בין הפונקציות.
נשים לב כי . נזכיר כי L=1 ולכן נבדוק מהו : ולכן (נשים לב שבמקרה זה יתכן גם שיוויון). לכן נבחר ונקבל את הדרוש.
דוגמה 2
חשב את הגבול .
פתרון
נסמן . קל לראות שמדובר בקטע [1,2]. לפי חוקי -ים אפשר לרשום: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \proud לא מוכרת): \lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\proud_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \proud_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right) . ראינו כי בקטע [1,2].
נסמן את f להיות בקטע ברור כי אינטגרבילית ולכן . מכיוון ש-f אינטגרבילית נבחר כלומר
הערה: את האינטגרל הנ"ל נלמד לפתון בשיעור הבא.
בנקודה ברור ש- ולכן אין משמעות שהתעלמנו מהנקודה 1.
נשים לב שבמקרה זה אפשר להוסיף גם את כי היא רציפה.
משפט: אם ו-f ו-g אינטגרביליות אז .
דוגמה 4
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: .
פתרון
נסמן קל לראות ש-f חיובית בקטע ולכן , כלומר אי-שלילי.
נוסיף ש- אינו בקטע ולכן חיובית
דוגמה 5
נוכיח כי .
פתרון
נתון כי ולכן . מכאן ש- חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ....
דרך 2: ולכן חיובית. לכן ...
דוגמה 6
הוכח כי
פתרון
ננסה למצוא קבועים המקיימים (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור). נמצא מינימום ומקסימום. נסמן ואז ולכן נקודה החשודה כקיצון היא . ולכן היא מינימום. לפי וירשרס נחפש בקצוות. (מקסימום) וכן . לכן . לפיכך ונקבל בדיוק את מה שרשום.