משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11

אינטגרציה (המשך)

עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

דוגמה 1

חשב

1. $\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}$. ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ-$\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}$. מתבקשת ההצבה $y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx$ ולכן נקבל $\int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}$ ומכאן קל למצוא את הפתרון.
2. $\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx$ ====פתרון==== נגדיר $y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx$. נקבל $\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy-\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots$

הצבות טריגונומטריות

כאשר יש פונקציה מהצורה $\sqrt{a^2-b^2x^2}$.

דוגמה 2

1. $\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$ ====פתרון==== נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) $\sqrt{x^2+4}$ חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא $\tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}$. נקבל $\int=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy$. נציב $t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt$ אזי $\int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots$
2. $\int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx$ ====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה $\sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy=\frac32\frac\sqrt{9-4x^2}3\mathrm dx$ אזי $\int=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy=3\int\csc(y)\mathrm dy-\dots$. נותר לפתור $\int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2}$ עבור $t=\cos(y)$. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
3. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32

====פתרון==== ראשית נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): y=x-y\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(y^3-9\right)^\frac32

. נציב $\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}$ נקבל: $\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz$ את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה $t=\cos(z)$ ואז $\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots$

הצבות מיוחדות

ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב $x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)$ ולכן $\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}$ וגם $\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}$.

דוגמה 3

פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:

1. $\int\csc(x)\mathrm dx$ ====פתרון==== $\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c$
2. $\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}$ =====פתרון==== נציב $y=\sqrt{x+2}\implies dx=2y\mathrm dy$ לפיכך $\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots$. מסכנה: כאשר יש ביטוי מהצורה $\sqrt[n]{ax+b}$ ננסה להציב $y^n=ax+b$.

אם יש ביטוי מהצורה $\sqrt{c+bx+X^2}$ כאשר הפולינום אי פריק נציב $(y-x)^2=c+bx+X^2$. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו $\alpha,\ \beta$ נציב עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\beta-x)^2^2

או עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\alpha-x)^2^2

דוגמה 4

נחשב $\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}$ ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו $(y-x)^2=x^2+x+2\implies y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\implies\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy$ ואז $\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}$