משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ב- אם לכל f אינטגרבילית ב- (locally integrable function). הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נגדיר . אם הגבול קיים אומרים שהאינטגרל מתכנס ו-f אינטגרבילית ב- ואם הגגבול לא קים אומרים שהאינטגרל מתבדר \, ו-f לא אינטגרבילית בקטע.
דוגמאות חישוב
- . דרך קיצור: .
- . נציב ואז כאשר נקבל וכאשר נקבל ולכן .
- עבור נחשב עבור זה - מתבדר. עבור נקבל , כלומר האינטגרל מתכנס . הערה: עבור מתקבל בקטע . לכן מבין הפונקציות , הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על מתבדר היא . אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ- שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל . "קל לבדוק" שעבור האינטגרל מתכנס אם"ם .
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניחי ש-. נבנה פונקציה רציפה ב- מסדר גודל יותר קטן מ-f: ז"א ועדיין . ובכן נגדיר אז כמובן ש- ולפי הנתון נגדיר וכן ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty
.
- נניח ש- רציפה ב- ו- מתכנס. אז קיימת מסדר גודל דגול מ-F כך ש- מתכנס.
בנייה: נגדיר לכן לכן קיים ושווה ל-L. נגדיר אז g מגדר גודל כמו f וזה לא עוזר, אלא יש להגדיר אז שוב וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, . נגדיר חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן
- , כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל - מתכנס או מתבדר? נוכיך שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ןנבטא את האינטגרל החלקי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int\limits_1^{N\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N a_k
. טענה: המספרים מקיימים:
- (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ. הוכחה:
- עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx
. אם k א"ז אז בקטע ואם k זוגי אז בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): |a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx
כי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \sinc(x) בעלת סימן קבוע ב-. נציב על מנת לקבל ומכיוון ש- זה שווה ל- ואילו , לכן הטענה השנייה מתקיימת. נותר לנו לבדוק ש-. ואכן . לסיכום וה- יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור מתכנס, נאמר ל-L. טענה - עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): \int_1^\infty \sinc(x)\mathrm dx=L
. הוכחה: יהי נתון. לפי הנתון קיים כך שלכל מתקיים . כמו כן ולכן קיים כך שלכל מתקיים . כעת נגדיר . אם אזי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \sinc לא מוכרת): |\int_1^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\int\limits_1^{\lfloor R\rfloor\pi} \sinc(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx|\le|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L|+|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx| \le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor}<\varepsilon
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה אינטגרבילית ב- ומתקיים .
הוכחה
לפי הגדרה
משפט 2
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי האינטגרל מתכנס אם"ם מתכנס, ואם כן . ההוכחה פשוטה מדי.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע אזי קיים אם"ם , ואם כן .
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. עוד נניח ש- בקטע זה, אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח . טענה: קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם נתון אזי קיים כך ש- לכן עבור כל מתקיים (מכיוון ש-f עולה) . בפרט, לכל מתקיים ולכן ואם (לא חסום) אז לכל קיים כך ש-. כעת, אם אז . נובע ש- ואין גבול במובן הצר.
- לכל נגדיר . כיוון ש- לכל , עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי וראינו בחלק 1 שהגבול של קיים אם"ם חסומה מלעיל, ז"א אם"ם חסום מלעיל כאשר .
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.