משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של : , כאשר . חלוקת הקטע משרה חלוקת הגרף . נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל יש רוחב h ושני גבהים . לכן שטח אותו טרפז הוא , והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g וכן הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים ונעריך את הטעות בו, השווה ל-. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב- ונסמן . נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה : , כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי ו-. לכן השארית היא , ומכיוון ש-P לינארית , כלומר השארית היא . נחשב: וכןבסה"כ הטעות בקטע חסומה ע"י . יש n קטעים כאלה, לכן .
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את בעזרת חלוקה שווה , אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא . למעשה, סימפסון מקרב ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .
הוכחה
נסמן ולכן . ב- נציב ונקבל . - נניח ש-f רציפה בסביבה של וגזירה בסביבה מנוקבת של . עוד נניח שקיים . אזי קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב- אזי , ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל- עבור כלשהו בין ל-. לכן, כאשר גם ונקבל .
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש- ו- פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש- (כאשר לכל f אינטגרבילית ב- הגדרנו ).
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי .