אינטגרלים

תהי $f$ מוגדרת בקטע $I$ . הפונקציה $F$ קדומה ל- $f$ ב- $I$ אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$ .

תהי

f

מוגדרת וחסומה בקטע

I

. אזי:

נסמן את האינפימום של $f$ כ- $m:=\inf_{x\in I}f(x)$ ואת הסופרימום כ- $M:=\sup_{x\in I}f(x)$ .
התנודה של $f$ היא $\Omega:=M-m$ .
חלוקה של קטע $[a,b]$ היא קבוצה מהצורה $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ כאשר $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ .

עבור חלוקה

P

כזו נגדיר:

לכל $k$ אורך תת הקטע $k$ הוא $\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}$ .
פרמטר החלוקה הוא $\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k$ .
לכל $1\le k\le n$ נגדיר $M_k:=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)$ וכן $m_k:=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)$ .
העדנה $Q$ של $P$ היא חלוקה של $[a,b]$ כך ש- $P\subset Q$ .
הסכום העליון הוא $\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k$ .
הסכום התחתון הוא $\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$ .
האינטגרל העליון הוא $\overline{\int}_a^b f:=\inf_P\overline S(f,P)$ .
האינטגרל התחתון הוא $\underline{\int}_a^b f:=\sup_P\underline S(f,P)$ .
$f$ תקרא אינטגרבילית (לפי דרבו) בקטע אם $\underline{\int}_a^b f=\overline{\int}_a^b f$ .
עבור f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ האינטגרל המסויים של $f$ בקטע (לפי דרבו) הוא $\int\limits_a^bf:=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f$ .
לכל $1\le k\le n$ נבחר $c_k\in[x_{k-1},x_k]$ כך ש- $a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b$ , ונסמן $P':=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ . סכום רימן מוגדר כ- $S(f,P,P'):=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k$ .
$f$ תקרא אינטגרבילית (לפי רימן) בקטע אם כאשר $\lambda(P)\to0$ כל סכומי רימן $S(f,P,P')$ שואפים לאותו גבול.
עבור f אינטגרבילית (לפי רימן) ב- $[a,b]$ האינטגרל המסויים של $f$ בקטע (לפי רימן) הוא $\int\limits_a^b f:=\lim_{\lambda(P)\to0}S(f,P,P')$ לכל החלוקות $P$ ו- $P'$ .
אם $f(x)\ge0$ ורציפה ב- $[a,b]$ אז נגדיר את השטח שמתחת לגרף כ- $\int\limits_a^b f$ . בפרט, לכל $f$ רציפה ב- $[a,b]$ השטח שבין הגרף לציר ה- $x$ הוא $\int\limits_a^b |f|$ .