משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

אינטגרלים

• אם $F$ ו-$G$ קדומות ל-$f$ בקטע $I$ אז קיים קבוע $c$ כך ש-$F(x)=G(x)+c$.

לכל פונקציה $f$ מוגדרת וחסומה בקטע $[a,b]$ מתקיים:

• אם $P$ חלוקה של הקטע אזי $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$.
• אם $P$ חלוקה של הקטע ו-$Q$ עידון של $P$ כך ש-$|Q|=|P|+r$ (כלומר, $Q$ מתקבלת מ-$P$ ע"י הוספת $r$ נקודות) אזי $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ וכן $0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$.
• לכל שתי חלוקות $P$ ו-$Q$ של הקטע מתקיים $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$.
• אם $f$ אינטגרבילית בקטע אז $\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f$.
• לכל חלוקה $P$ מתקיים $\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וגם $\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$.
• $f$ אינטגרבילית בקטע אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$.
• $f$ אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ של $[a,b]$ כך ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$.
• אם $f$ רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.

• הכללה: אם $f$ רציפה ב-$(a,b)$ אזי היא אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

• הכללה להכללה: אם $f$ רציפה ב-$[a,b]$ פרט למספר סופי של נקודות אז $f$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

• נניח ש-$a<c<b$. אזי $f$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$ וב-$[c,b]$ אם"ם היא אינטגרבילית ב-$[a,b]$, ואם כן אז $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b$.

• הכללה: עבור $f$ כנ"ל ו-$a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$.

• תהי $P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ חלוקה נוספת של $[a,b]$ כך ש-$\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]$. אזי $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$. יתר על כן, $\underline S(f,P):=\inf_{P'}S(f,P,P')$ ו-$\overline S(f,P):=\sup_{P'}S(f,P,P')$.
• הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.

• אם $f$ מוגדרת ומונוטונית בקטע $[a,b]$ אזי היא אינטגרבילית בו.

תהיינה $f,g$ אינטגרביליות ב-$[a,b]$, ו-$c$ קבוע. אזי:

• לינאריות: $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.
• מונוטוניות: אם $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)$ אז $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$.

• חיוביות: בפרט מתקיים שאם $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0$ אזי $\int\limits_a^b f\ge0$.

• הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם $|f|$ אינטגרבילית בקטע אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$.
• אם $m\le f(x)\le M$ בקטע אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$.

• בפרט, אם $|f(x)|\le M$ אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$.
• בפרט, אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f=M(b-a)$.

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי $f$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$, ותהי $F$ כך ש-$\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f$.

• $F$ מוגדרת ורציפה ב-$[a,b]$.
• לכל $x\in[a,b]$ שבה $f$ רציפה, $F$ קדומה ל-$f$ (כלומר, $F$ גזירה ו-$F'(x)=f(x)$).
• נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-$f$ רציפה ב-$[a,b]$. אזי $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$.

• אם $f$ רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.