תוכן עניינים

1 שימושי האינטגרל

שימושי האינטגרל

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה $y=4x$ והישר $y=2x-4$ .

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: $(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4$ .

דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- $90^\circ$ ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין $y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4$ וכן $y=2x-4\implies x=\frac12y+2$ . קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם $-2,4$ (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא $\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9$ .
דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח $S_1$ בין $x=1$ ל-4 ושני שטחים שווים $S_2=S_3$ בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא $S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9$

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות $y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1$ .

פתרון

נקודות חיתוך:

$y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0$
$y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)$
ברור כי ל- $y=e^x,\ y=0$ אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא $\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e$ .

דוגמה 3

מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.

פתרון

נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה $[0,y]$ החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל $\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a$ ולכן שטח חתך כזה הוא $S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2$ . נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא $\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3$ .

נפח גוף סיבוב

נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה $V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx$ .

דוגמה 4

חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה $y^2=8x$ סביב ציר ה-x, עד לישר $x=2$ .

פתרון

$y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}$ . מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של $\sqrt{8x}$ בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, $V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi$ .

דוגמה 5

מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.

פתרון

ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל $x^2+y^2=r^2$ ולכן בחצי המישור העליון $y=\sqrt{r^2-x^2}$ . הנפח הוא $\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3$ .

דוגמה 6

מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים $f(x)=\frac12+x^2$ ו- $g(x)=x$ בקטע $[0,2]$ .

פתרון

נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: $\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R$ , כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא $\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi$ .