משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
- : נציב ולכן
דרך אחרת: , נציב ולכן - : נגדיר ולכן
- : נגדיר ואז
- : נציב לקבל
- : . לפיכך
- : ומכאן נובע
- : אם אז נציב ואז
- נתון קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל- לכל . ברור כי . כעת . לפיכך לכן . למשל, עבור נחשב : וכן . לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי ( פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: , כאשר קבועים ולמכנה אין שורשים ממשיים (כלומר ). האינטגרציה של השבר הראשון קלה: . לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
- כאשר ולכן .
- נציב ואז :נציב ונסמן :כאשר הוא בדיוק אותו שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש ) נחשב ע"י הצבת , ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם אז קיים לו פירוק (כאשר ). חלק מה--ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל:כעת, בהינתן האינטגרל כאשר נפרק את ל- ו- כנ"ל, נמצא כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
- . A ו-B מקיימים ונקבל
- : האינטגרנד שווה ל-. נמצא את A,B,C,D: מתקיים .
נציב ואז .
נציב : .
נציב ונקבל .
לבסוף נציב ואז .
לפיכך