משתמש:אור שחף/133 - תרגול/1.5.11
תוכן עניינים
אינטגרלים לא אמיתיים
מקרה ראשון
לפחות אחד מגבולות האינטגרל הוא אינסוף.
דוגמה 1
הראה כי מתכנס ומצא חסם עליון.
פתרון
ברור כי עבור הקטע , שם נפעיל את האינטגרל: . עבור הקטע , שם ברור כי מתקיים , לכן ואז עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limtis לא מוכרת): \int\limits_1^\infty e^{-x^2}\mathrm dx\le\int\limtis_1^\infty e^{-x}\mathrm dx=\left[-e^{-x}\right]_{x=1}^\infty=\frac1e . לכן בסה"כ .
מבחן דיריכלה
f ו-g רציפות. אם
- f יורדת לאפס.
- הנגגזרת של f רציפה.
- חסומה.
אזי מתכנס.
דוגמה 2
הוכיחו כי לכל האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matghm לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^\alpha}\matghm dx
מתכנס.
פתרון
נסמן וכן . עבור ברור כי f רציפה בקטע, רציפה ן-f יורדת לאפס. ברור כי g רציפה. נוכיח כי G חסומה . מסכנה: ממשפט דיריכלה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matghm לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^\alpha}\matghm dx .
אינטגרלים לא אמיתיים - סוג שני
במקרה זה מסתכלים בסביבה של נקודת אי-רציפות.
הגדרה: נניח f אינטגרבילית בכל תת קטע של וכן לא חסומה בסביבת a. אם קיים אז . באופן דומה מגדירים עבור גבול אינטגרציה עליון.
אם נקודת אי-רציפות נרשום . ושוב באופן דומה לאינטגרל לא אמיתי מסוג I שני האינטגרלים צריכים להתכנס.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם .
דוגמה 3
יהי . הוכיחו כי מתכנס אם"ם .
פתרון
ואז .
נעשה הצבה ואז . לפיכך מספיק לפתור את האינטגרל (נסתכל תחילה על האינטגרל הלא מסויים). עבור : ועבור : .
נחזור ל-x: (עבור המקרה ) נקבל .
עבור נקבל .
את המקרה הנ"ל החלק לשני תת מקרים:
- אם , כלומר אז ולכן .
- אם , כלומר , אזי ברור כי .
מבחן ההשוואה לאינטגרל לא אמיתי מסוג II
אז אם מתכנס גם מתכנס.\
מבחן ההשוואה הגבולי
וכן .
- אם נאמר ש- ו- מתבדרים או מתכנסים יחדיו.
- אם אז התכנסות גוררת התכנסות .
- אם אז התכנסות גוררת התכנסות .
דוגמה 4
קבעו התכנסות של .
פתרון
נשווה ל-. . ידוע כי מתבדר ולכן האינטגרל הנתון מתבדר גם כן.
דוגמה 5
קבעו התכנסות .
פתרון
קל לעבור מסוג II לסוג I ע"י הצבה . לכן . נקבל . ניתן להראות כי אינטגרל זה מתכנס בדומה למה שעשינו עם , בעזרת מבחן דיריכלה.
דוגמה 6
הוכיחו התכנסות בתנאי של .
פתרון
מצאנו כבר כי מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בקטע . תחילה נבדוק התכנסות בהחלט: ברור כי . אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל ואז . צד שמאל מתבדר ולכן אין התכנסות בהחלט.
נמשיך בתרגול הבא.