משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11
את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II (המשך)
דוגמה
- מתכנס או מתבדר?
נסמן . לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי . כמו כן יש סינגולריות רק ב- ונרשום: .
f אי-שלילית בקטע . לכן נגדיר ונחשב ולכן מתכנס אם מתכנס, מה שאכן מתקיים: . באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות (השוואה עם ). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס.
נושא שני:
סדרות וטורים של פונקציות
הגדרה: תהי סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע . לכל נקבל סדרת מספרים ואפשר לדון ב-. נגדיר את "תחום ההתכנסות" של הסדרה כ-. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" כך ש-.
יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:
- סדרת פונקציות היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים , עם לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
- סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.
הגדרה: נניח שיש לנו סדרת פונקציות על I. אפשר לבנות טור כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים וה- סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-, לפי ההגדרה, . כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא .
דוגמאות
- . זאת סדרת פונקציות על ומתקיים . לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע . נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב- אעפ"י שכל ה- רציפות בנקודה זו.
- נחשב את הפונקציה הגבולית עבור . עבור מתקיים . עבור נקבל . לכן הפונקציה הגבולית היא .
- הטור הנדסי שווה ל-. תחום ההתכנסות הוא .
- נבדוק למה שווה הטור עבור :
גישה אחרת (מבט פונקציונלי): נגדיר . אם יש צדק בעולם ולכן , אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון). - נגדיר . לכן הפונקציה הגבולית היא . אם יש צדק בעולם אז , אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט ולכן לא קיים לאף .
- נתבונן בטור ונוכיח כי . נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש- עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים . כדי להראות ש- נותר להוכיח ש-. ובכן נקח כרצונינו ונשים לב כי
וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: ולכן . נגדיר ולכן ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן ונובע ש-. מהגדרת S נובע כי ז"א , ומכאן נובע ש- ובפרט . ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).
טענה: e אינו רציונלי.
הוכחה: נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן עבור . לכן , אבל , כלומר הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה.
הגדרה: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל קיים הגבול . ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של ל-f במידה שווה ב-I:
- לכל קיים כך שאם אז לכל .
- .