משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
ראינו בשיעור שעבר כי מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.
פתרון
ברור כי ולכן . מספיק להסתכל על . ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \frahttp לא מוכרת): y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x
ואז נקבל שמתכנס לפי דיריכלה.
דוגמה 2
קבעו האם מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים עבור , לכן . ברור ש- מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה מתכנס.
עבור שוב נסכל על ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-. לדגמה, נבחר . קל לראות ש-, ולכן היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה .
- אם לכל בקטע הסדרה מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן .
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם אז .
- אם אז .
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי מתכנסת במ"ש אם לכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים .
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל- כי
מסקנה
עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל קיים כך שלכל ולכל בקטע מתקיים נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon
ולכן מספיק לבחור ונקבל את הדרוש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
מצאנו בדוגמה 2 ש-. נשים לב כי ז"א (לפי הגדרת