משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תזכורת: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל קיים הגבול (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש- במידה שווה ב-I אם לכל קיים כך שאם אז לכל .
הערה
אם במ"ש על I אז לכל ברור שמתקיים , כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
- במ"ש ב-I
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי . אבל אם ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים לכל . נובע מיד שאם אז ולכן והוכחנו , כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים ולכן עבור .
דוגמה
בקטע ברור כי .
נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: .
נעיר כי בקטע עבור דווקא יש התכנסות במ"ש: ולכן , כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה כל רציפה ב-. אזי גם f רציפה ב-.
הוכחה
יהי נתון. במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל מתקיים . רציפה ב- ולכן קיים כך שאם אז נובע שאם אז .
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי . כאן כל רציפה ב- ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב- ונניח שקיים במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים .
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-. שקול להוכיח ש-. ובכן יהי נתון. כיוון ש- במ"ש על I . נובע שלכל . מכאן נובע ש-.
דוגמה
משמאל נתונה הפונקציה עבור כלשהו.
נוכיח כי : עבור לכל n ולכן . אם אז קיים כך ש- ולכן לכל מתקיים , מה שגורר כי לכל ונובע ש-. בזה הוכחנו את הטענה ש- נקודתית ב-. נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי .
נוכיח כי (כאשר היא הפונקציה הגבולית): לכל nהשערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר .
- נוכיח ש- במ"ש בכל : .
- נוכיח : לכל n ולכל מתקיים ועבור כלשהו שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע . נניח שהסדרה מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) והסדרה מתכנסת במ"ש ל-g ב-. אזי קיים לכל ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-. יתר על כן .
הוכחה
נקח כלשהו. לכל n הפונקציה רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר . נעביר אגף: . כעת נתון שקיים , נקרא לו . יתר על כן נתון ש- במ"ש ב- וכל שכן במ"ש בתת הקטע בין ל-x. נסיק ממשפט 3 ש- נובע שלכל קיים והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-. לפי הנתון כל רציפה ו- במ"ש על . לכן משפט 2 נותן ש- רציפה ב- וכיוון שלכל מתקיים החלק הראשון של המשפט היסודי נותן לכל .