משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-17.6.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר בקטע עם המשך מחזורי בכל :
לכן וכן אם אז , ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר ואז וכן אם אז . נמשיך להגדיר ולכן ואם אז . לבסוף, נגדיר אזי S רציפה ב- (כי כל רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: ו- מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי ), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם במ"ש ואם לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת שהגדרנו קודם: ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל שמתבדר בין ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של (למשל הקטע , כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע וכו'). אם מקיימות זאת אזי . נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות מקיימות תכונה אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של . במקרה כזה . נשים לב שאם הנקודות מקיימות אז הן מקיימות , ובהכללה . כעת יהי נתון ונוכיח כי לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה כלשהי כך ש- לא קיים הגבול . נבחר אם מקיימות , ו- אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות מקיימות כי אם לא מקיימות אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של . ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב- הוא ולכן כן מקיימות . כמו כן ברור כי . מתקיים . כיוון ש- מקיימות מתקיימת לכל הטענה . עבור המחזור של הוא . אם אז הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן , ומכאן ש-. לפיכך לכל m נקבל . כאשר הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.