משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11
את משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-24.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 4
נניח שלטור יש רדיוס התכנסות , אזי:
- f גזירה אינסוף פעמים בקטע ולכל מתקיים . רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזור הוא R.
- לכל , , ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב .
הוכחה
- באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
- הוכחנו בסעיף 1 ש-. נציב ונקבל , כלומר .
מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)
נניח ששני טורי חזקות בקטע שלם, כלומר לכל , אזי .
הוכחה
נגדיר פונקציה גבולית . עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים .
הערה
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו אבל עבור n כלשהו.
דוגמאות
- נמצא טור מקלורין של עבור הפונקציה : ידוע לנו ש- עבור . לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f.
- נמצא טור טיילור של סביב , ז"א .
דרך 1: נציב לקבל ולכן הטור הוא . לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
דרך 2: . בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר , כלומר כש-.
נסכם: בקטע ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה. - נמצא את טור מקלורין של , ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
דרך 1: טור מקלורין הוא , כאשר מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה ואז נוכל לקבל את הטור עבור ע"י אינגרציה איבר-איבר. כעת: עבור , ז"א . עתה נעשה אינטגרציה: לכל , ולכן . עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של בתחום . אם מותר להציב אז נקבל את המשוואה היפה , אבל מכיוון שלא מתקיים צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-. - מצאו את טור טיילור ל- סביב וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-.
דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל ואז נבדוק מתי השארית שואפת ל-0.
דרך 2: ולכן תחילה נפתח : כאשר . כעת בתחום . עבור לא מתקיים , אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון). - (תרגיל ממבחן) נגדיר . מצאו : לכל מתקיים ונציב לקבל . לפי משפט 4 מתקיים המקדם של מקיים ולכן .
מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)
הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת, פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.
דוגמאות
- היא מד"ר, שפתרונה הוא עבור קבוע c כלשהו.
- גם היא מד"ר, ופתרונה עבור קבוע a.
- . ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה עבור a,b קבועים.
- (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל- וגם פתרון כך ש-: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג עם רדיוס התכנסות . לפיכך . צריך להתקיים ולכן ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: . את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים . מכאן ש- קבועים כלשהם, , ו-, לכן . מכאן נובע ש-{{left|עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\dot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)
. נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-, היחס בין שני איברים עוקבים הוא , ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) . באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב- הוא ולכן הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-, כלומר . לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי : נזכר ש- ולכן , כלומר וגם , כלומר . מציבים ערכים אלו של בפתרון הכללי שמצאנו ל- וסיימנו את התרגיל.