משתמש:אור שחף/133 - תרגול/5.6.11
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
דוגמה 1
חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור .
פתרון
נתחיל מההצבה כדי שנקבל תבנית של טור חזקות: . נעזר במבחן המנה: , כלומר רדיוס ההתכנסות של הטור החדש הוא ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור המקורי (מכיוון ש-) הוא .
דוגמה 2
מצאו את תחום ההתכנסות של הטור וחשבו את סכומו לכל x בתחום.
פתרון
אם נציב נקבל את הטור ההנדסי . טור זה מתכנס אם"ם ואם כן אזי . לסיכום, תחום ההתכנסות הוא וסכום הטור הוא .
דוגמה 3
הוכח כי .
פתרון
נכוון לטור טיילור של כי . ידוע כי , ומכיוון ש- מתכנס במ"ש על ל- לכל אפשר לעשות אינטגרציה איבר-איבר: . הנקודה אמנם אינה נמצאת ב-, אבל אפשר להשתמש במבחן אבל: אם לטור יש רדיוס התכנסות R ו- מתכנס ל-S אזי קיים ושווה ל-S. לפיכך .
דוגמה 4
חשבו בקירוב של .
פתרון
טור טיילור של הוא ולכן טור טיילור של הוא . ברור כי הטור הנ"ל מתכנס במ"ש בכל (כי רדיוס ההתכנסות הוא, עפ"י מבחן השורש או מבחן המנה, ) ולכן נעשה אינטגרציה איבר-איבר: . הטור באגף הימיני ביותר הוא טור לייבניץ ולכן (מאינפי 1) (כאשר S הוא סכום הטור, הוא סכום הטור החלקי מהאיבר ה-0 עד n, ו- הוא האיבר ה- של הטור). עבור מתקיים ולכן נחשב , ונקבל .
דוגמה 5
נתונה פונקציה רציפה כלשהי ב- והפונציה .
- הוכיחו כי הטור מתכנס במ"ש בתחום ההגדרה של .
- העזרו בכך ש- (אין צורך להוכיח זאת) וחשבו את .
פתרון
- נעזר במבחן ה-M של ויירשראס: ו- מתכנס, לכן הטור מתכנס במ"ש על .
טענת עזר: נוכיח שהטווח של הוא קטע. ראשית נוכיח שלכל קטע , הוא קטע. ממשפט ויירשראס השני, קיימת נקודה שבה מקסימלית ו- שבה היא מינימלית, ונניח בלי הגבלת הכלליות ש-. אזי רציפה ב- ולכן, מממשפט ערך הביניים, לכל קיים כך ש-. לפיכך הוכחנו ש-. מאידך, הוא הערך המינימלי של ו- הוא הערך המקסימלי, לכן ברור ש-. מכאן ש-, כלומר הטווח הוא קטע, כדרוש. הטענה נכונה לכל קטע ולכן נשאיף ונקבל שהיא נכונה ל-.
לפיכך מתקיימים התנאים לשימוש במבחן ה-M של ויירשראס, ומכיוון שהטור של f מתכנסת במ"ש על הוא בפרט מתכנס במ"ש על תת הקטע . מכאן ש- מתכנס במ"ש. - הטור מתכנס במ"ש ולכן ניתן לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
דוגמה 6
קרבו את כך שהשארית קטנה מ-.
פתרון
נעזר בטור טיילור מסדר N של : ונציב . קיבלנו , שהוא טור לייבניץ ולכן . דרוש ש-, ובגלל ש- נחשב .