88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2
תוכן עניינים
שיעור שני
אלגברת מטריצות
ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של A זהה למספר השורות של B. אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.
תרגיל 3.4 ג-ז
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:
ג
אם L אינה קבוצה ריקה, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בL
פתרון
נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין L. יהיה כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה המוגדרת ע"י . יש להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב (כלומר, y-x הוא פתרון של המערכת ההומוגנית) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל.
דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. כפי שרצינו.
דבר שני, נניח כי לכן ברור ש (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).
דבר שלישי, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן .
לכן סה"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודל.
ד
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש פתרון יחיד למערכת ההומוגנית
פתרון
נביט במטריצה ובוקטור הפתרונות . במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0).
ה
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש אינסוף פתרונות למערכת ההומוגנית
פתרון
נביט במטריצה ובוקטור הפתרונות . במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות.