משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

• $c$ הוא קבוע.
• $f,g$ פונקציות.
• כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה $A$:

• $C(A)$ היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-$A$.
• $\mbox{Mo}(A)$ - מונוטוניות.

• $\mbox{MO}(A)$ - מונוטוניות במובן הצר.

• $\mbox{Bo}(A)$ - חסומות.

• החסם העליון של פונקציה ב-$\mbox{Bo}(I)$ הוא $M$ והתחתון - $m$.

• $\mbox{Po}(A)$ - אי-שליליות.

• $\mbox{PO}(A)$ - חיוביות.

• $\mbox{INT}(A)$ - אינטגרביליות.

• $\mbox{Int}(A)$ - אינטגרביליות מקומית.

• אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של $f$ היא $F$).
• $P$ היא חלוקה $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ של הקטע הנתון כך ש-$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$.

• $Q$ היא העדנה של $P$.
• $P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה $P$ כך ש-$\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]$.

אינטגרלים

• אם $F$ ו-$G$ קדומות ל-$f$ בנקודה כלשהי אז קיים $c$ כך ש-$F(x)=G(x)+c$.
• $\forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$.
• אם $|Q|=|P|+r$ (כלומר, $Q$ מתקבלת מ-$P$ ע"י הוספת $r$ נקודות) ו-$f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אזי $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ וכן $0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$.
• לכל חלוקה $Q$ של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של $P$), אם $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אזי $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$.
• לכל $f\in\mbox{INT}([a,b])$ מתקיים $\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f$.
• תהי $f\in\mbox{Bo}([a,b])$. אזי $\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וגם $\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$.
• נניח ש-$f\in\mbox{Bo}([a,b])$. $f\in\mbox{INT}([a,b])$ אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$.
• נניח ש-$f\in\mbox{Bo}([a,b])$. $f\in\mbox{INT}([a,b])$ אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ של $[a,b]$ כך ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$.
• אם $f\in C([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$.

• הכללה: אם $f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b))$ אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])$.

• הכללה להכללה: אם $f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b])$ כאשר $A$ קבוצה סופית אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])$.

• אם $f\in\mbox{Mo}([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$.
• נניח ש-$a<c<b$. אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big)$ אם"ם $f\in\mbox{INT}([a,b])$, ואם כן אז $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$.

• הכללה: עבור $f$ כנ"ל ו-$a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$.

• אם $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אז $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$. יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')$ ו-$\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')$.
• הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
• לינאריות: $\forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.
• מונוטוניות: אם $f,g\in\mbox{INT}([a,b])$ וכן $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)$ אז $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$.

• חיוביות: בפרט מתקיים שאם $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b])$ אזי $\int\limits_a^b f\ge0$.

• הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם $|f|\in\mbox{INT}([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$ ו-$\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$.
• אם $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b])$ אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$.

• מקרה פרטי: אם $\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$ ו-$f\in\mbox{INT}([a,b])$ אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$.

• מקרה פרטי: אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f=M(b-a)$.

• המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי $f\in\mbox{INT}([a,b])$ ותהי $F$ כך ש-$\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f$. אזי $F\in C([a,b])$ וכן לכל נקודה ב-$[a,b]$ שבה $f$ רציפה, $F$ קדומה ל-$f$ (כלומר, $F$ גזירה ב-$[a,b]$ ו-$F'=f$).
• נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי $f\in C([a,b])$. אזי $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$.
• לכל $f\in C([a,b])$ יש פונקציה קדומה.
• אינטגרציה בחלקים: נניח כי $f',g'$ רציפות. אזי $\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$.

• $\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g$

• שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}$.

• $\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)$

• כל פונקציה רציונלית $\frac pq$ כך ש-$\deg(p)<\deg(q)$ ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים $\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}$ כאשר $A,B,C,x_0\in\mathbb R$ ול-$x^2+bx+c$ אין שורשים ממשיים.
• נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-$f\in\mbox{Po}([a,b])$ בין $a$ ל-$b$ סביב ציר ה-$x$ הוא $\int\limits_a^b \pi f^2$.
• הממוצע של $f\in C([a,b])$ בקטע $[a,b]$ הוא $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$.
• אורך הגרף של $f\in C([a,b])$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$.
• שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של $f\in C([a,b])$ סביב ציר ה-$x$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$.
• תהינה $f,g\in\mbox{INT}([a,\infty))$. אזי $f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty))$ ומתקיים $\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g$.
• תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$ ויהי $b>a$. אזי $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אם"ם $f\in\mbox{INT}([b,\infty))$ ואם כן $\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f$.
• $f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty))$. אזי $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם $\sup_x f(x)<\infty$ ואם כן $\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)$.
• $f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$. אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^R f$ חסומים מלעיל, ואם לא אז $\int\limits_a^\infty f=\infty$.
• מבחן ההשוואה: נניח ש-$f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$ וכן $\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)$. אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$ וכן $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R$. אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• המבחן האינטגרלי לטורים: תהא $f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty))$ עבור $k\in\mathbb N$ כלשהו. אזי $f\in\mbox{INT}([k,\infty))$ אם"ם $\sum_{n=k}^\infty f(n)$ מתכנס.

• הכללה: בפרט מתקיים $\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)$.

• תהא $f$ מוגדרת ב-$[a,\infty)$. $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
• תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$. אזי $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$.
• תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$. אם $|f|\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אז $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$.
• מבחן דיריכלה: תהא $f\in C([a,\infty))$ ונניח שהאינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^b f$ חסומים כאשר $b\to\infty$. כמו כן תהא $g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty))$ ו-$\lim_{x\to\infty}g(x)=0$. אזי $f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty))$.
• סכימה בחלקים: $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ כאשר $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
• משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור $\sum_{n=1}^N a_n$ יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-$\{b_n\}$ סדרה מונוטונית כך ש-$b_n\to0$. אזי $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס.
• אם $f,g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז לכל $c$ מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.
• עבור $a<c<b$ ו-$f\in\mbox{Int}((a,b])$, $f\in\mbox{INT}((a,b])$ אם"ם $f\in\mbox{INT}((a,c])$, ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f$.
• תהי $f\in\mbox{Mo}((a,b])$. אזי $\lim_{x\to a^+}f(x)$ קיים אם"ם $f\in\mbox{Bo}((a,b])$.
• אם $f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ אז $f\in\mbox{Int}((a,b])$ אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$.
• מבחן ההשוואה: $f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ וכן $\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)$. אם $g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$.
• מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ וקיים $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$. אם $g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• תהא $f\in\mbox{Int}((a,b])$. אזי $f\in\mbox{INT}((a,b])$ אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon$.
• תהא $f\in\mbox{Int}((a,b])$. אם $|f|\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$.