88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1

קישורים

מידע רב חופף בין הקורס שלנו לקורס תורת הקבוצות, ניתן להעזר לכן בקורס תורת הקבוצות בויקיפדיה

קבוצות

ההגדרה האינטואיטיבית לקבוצה הינה "אוסף של איברים". ההגדרה הזו מובילה לסתירות לוגיות כגון "פרדוקס ראסל". נביט בקבוצה הבאה:

• אוסף כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן

אם X שייכת לקבוצה הזו, אזי היא אינה שייכת לקבוצה. אולם, אם היא אינה שייכת לקבוצה אזי היא כן שייכת לקבוצה.

סתירה אינה מקובלת במחוזות המתמטיקאים, ולכן הגדירו את "תורת הקבוצות האקסיומטית" העוקפת בעייה זו. ניתן לקרוא יותר על נושא זה בקישור לעיל, עבורנו מספיקה ההגדרה האינטואיטיבית.

אם כן, נחזור להגדרתנו הנאיבית; קבוצה הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות:

$\{1,horse,3\}$, $\{1,2,3\}$ ו$\{1,\{2,3\},\{\}\}$

איבר השייך לקבוצה אנו מסמנים בסימן $\in$. למשל $1\in\{1,2,3\}$, ואילו $4\notin\{1,2,3\}$. שימו לב שגם $1\notin\{\{1,2,3\}\}$ שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה $\{1,2,3\}$.

אומרים שקבוצה A מוכלת בקבוצה B (מסומן $A \subseteq B$) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים $\forall a\in A: a\in B$.

חיתוך של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים המוכלים גם בA וגם בB (מסומן $A\cap B$). מתקיים ש$a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B)$.

איחוד של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים המוכלים בA או בB (מסומן $A\cup B$). מתקיים ש$a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B)$.