משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
-
שיטת הטרפזים
נעשה חלוקה שווה של : , כאשר . חלוקת הקטע משרה חלוקת הגרף . נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל יש רוחב h ושני גבהים . לכן שטח אותו טרפז הוא , והקירוב לאינטגרל הואנותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g וכן הקירוב של ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים ונעריך את הטעות בו, השווה ל-. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב- ונסמן . נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה : , כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לפיכך , והשארית היא , ומכיוון ש-P לינארית , כלומר השארית היא . נחשב: וכןבסה"כ הטעות בקטע חסומה ע"י . יש n קטעים כאלה, לכן .
-
כלל סימפסון (Simpson's Role)
שוב נקרב את בעזרת חלוקה שווה , אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא . למעשה, סימפסון מקרב ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי אזי . הוכחה: נסמן ולכן . ב- נציב ונקבל .
- נניח ש-f רציפה בסביבה של וגזירה בסביבה מנוקבת של . עוד נניח שקיים . אזי קיים ושווה ל-L. הוכחה: לפי ההגדרה, אם f גזירה ב- אזי , ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל- עבור כלשהו בין ל-. לכן, כאשר גם ונקבל .
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש- ו- פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש- (כאשר לכל f אינטגרבילית ב- הגדרנו ).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) מתקייםשלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע ונסמן . נעריך את הטעות: . לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, . לכן . כזכור . נעריך:מכל זה, יוצא ש: .
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו מתקיים
הוכחה
באינטגרל נציב כדי לקבל . ניצור פונקציה ונבנה ב- כמו שעשינו בשלב ב:כמו כן, מכיוון ש- מתקיים , ומכל זה נובע .
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י . יש קטעים כאלה, ומכיוון ש- הטעות חסומה ע"י .
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י .