משפט המימדים
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־18:17, 15 בספטמבר 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "=משפט המימדים= יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: :<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> =ה...")
משפט המימדים
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל ב .
כיוון ש, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.
נסמן את הבסיסים ב .
נסמן את איחוד הבסיסים ב , ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.
B פורש את U+W
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, .
ברור אם כך כי
B בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
- .
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: