סיבוכיות
מתוך Math-Wiki
סיבוכיות היא דרך להשוות בין קצב גידול של פונקציות ממשיות. הסיבוכיות של פונקציה אינה מושפעת מהכפלתה בקבוע (גדול מ-0).
או גדול, אומגה, תטה
הגדרה תהיינה פונקציות אי שליליות מהטבעיים לממשיים.
- נאמר ש- אם קיים ממשי ו- כך ש- לכל (הקבוע יכול להיות גדול כרצוננו).
- נאמר ש- אם קיים ממשי ו- כך ש- לכל (הקבוע יכול קטן גדול כרצוננו).
- נאמר ש- אם וגם , כלומר קיימים ממשיים ו- כך ש- לכל .
לעיתים משתמשים גם בהגדה הבאה:
- נאמר ש- (סימון אחר ) אם . (הגדרה זו תקפה גם עבור פונקציות המקבלות ערכים שליליים ולכן הערך המוחלט.)
דוגמא: אם ו- אז לא קשה לראות ש- ו- אבל לא מתקיים .
קצת אינטואיציה: אומר ש- גדלה כמו או פחות מכך (עד כדי כפל בקבוע). אומר ש- גדלה כמו או יותר מכך (עד כדי כפל בקבוע).
הערה: כשכותבים בחישובים (לדוגמא: ) בדרך כלל מתכוונים לפונקציה שהיא . הנ"ל נכון גם עבור .
הערה: ההגדרות לעיל תקפות גם עבור פונקציות מ- ל-
תכונות בסיסיות
נניח כי אזי:
- . כנ"ל עבור . (זהירות: !)
- אם ורק אם .
- . כנ"ל עבור .
- . כנ"ל עבור .
- לכל . כנ"ל עבור .
- היחס הוא טרנזיטיבי. (ניסוח אחר: .) כנ"ל עבור .
- היחס הוא יחס שקילות.
- .
יחסים בין פונקציות נפוצות
- לכל ממשיים מתקיים .
- לכל ממשיים .
- לכל ממשיים .