88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח
מתוך Math-Wiki
שאלה 1
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה
ב. הוכח/הפרך: אם אזי
פתרון
א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה כך שלכל
מתקיים
ולכן
. סה"כ:
ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה , ובמקומות האי-זוגיים
:
קל לראות כי , אבל לא קיים הגבול
שאלה 2
נניח כי f פונקציה רציפה ב- , גזירה ב-
. בנוסף נתון כי
והנגזרת
מונוטונית עולה ב-
.
א. הוכיחו כי ב-
.
ב. הוכיחו כי הפונקציה מונוטונית עולה ב-
.
פתרון
א. יהי . נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע
. לכן קיימת נקודה
כך ש:
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
כפי שרצינו.
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':