מנרמל
המנרמל של תת-חבורה H בחבורה G הוא הקבוצה . זוהי תת-חבורה של G, המכילה את H.
המנרמל הוא תת-החבורה *הגדולה ביותר* של G שבתוכה H נורמלית. ביתר דיוק:
- תהי G חבורה, ותהי H תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה , אם ורק אם . בפרט, .
כמובן, אם H נורמלית, אז המנרמל שלה הוא כל החבורה.
דקויות
תת-חבורה H היא נורמלית ב-G אם לכל מתקיים , והתנאי האחרון הוא זה המופיע בהגדרת המנרמל. כאן נחבאת נקודה מבלבלת. התנאי "לכל מתקיים ", למרות שהוא א-פריורי חלש יותר, מגדיר נורמליות באותה מידה כמו התנאי הראשון. עם זאת, הקבוצה אינה בהכרח שווה למנרמל: היא עשויה להכיל אותו ממש, ואף אינה חייבת להיות תת-חבורה של G (כמובן שאם G סופית אין הבדל בין שתי ההגדרות).
הצמדות
המנרמל סופר תת-חבורות צמודות, במובן הבא: לכל תת-חבורה H של חבורה G, מספר תת-החבורות הצמודות ל-H (ב-G) שווה לאינדקס .
תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל מתקיים .
הכללה: יהי אוטומורפיזם של G; אז .
דגשים
- הפונקציה המתאימה לתת-חבורה את המנרמל שלה, אינה מונוטונית כמו פונקציית המרכז. כלומר, מכך ש- לא נובע א-פריורי שום יחס בין המנרמלים .
- המנרמל עצמו אינו חייב להיות נורמלי ב-G. לפיכך, גם לו יש מנרמל משלו, , וכן הלאה. (אם P היא תת-חבורת סילו, אז המנרמל שלה נורמלי בעצמו בלבד, כלומר .